弾性基礎上の張力付き細いリボンを走る波束の位相速度と群速度

問題文

十分に長い細い弾性リボンが、水平な $x$x 軸に沿って張られている。リボンの微小な鉛直変位を $y(x,t)$y(x,t) とする。リボンには一様な張力 $T$T がかかっており、さらにリボンの曲げ剛性 $B$B と、鉛直変位に比例して復元力を及ぼす弾性基礎がある。

リボンの単位長さあたりの質量を $\mu$μ、弾性基礎が単位長さあたりに及ぼす復元力の比例係数を $\kappa$κ とする。微小振動について、リボンの運動方程式は

$$\mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-B\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}-\kappa y$$μ∂t2∂2y​=T∂x2∂2y​−B∂x4∂4y​−κy

で与えられるものとする。

このリボンを、角振動数 $\omega$ω、波数 $k$k の正弦波

$$y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$$y(x,t)=Acos(kx−ωt)

として振動させる。ただし $k>0$k>0、$\omega>0$ω>0 とする。

このとき、位相速度を

$$v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k}$$vp​=kω​

群速度を

$$v_{\mathrm g}=\frac{d\omega}{dk}$$vg​=dkdω​

で定義する。

位相速度と群速度が等しくなる正の波数を $k_*$k∗​ とし、そのときの共通の速さを $v_*$v∗​ とする。$v_*$v∗​ を求めよ。

制約

• $\mu=8.00\times 10^{-2}\ \mathrm{kg\,m^{-1}}$μ=8.00×10−2 kgm−1
• $T=7.20\ \mathrm{N}$T=7.20 N
• $B=5.00\times 10^{-3}\ \mathrm{N\,m^2}$B=5.00×10−3 Nm2
• $\kappa=1.28\ \mathrm{N\,m^{-2}}$κ=1.28 Nm−2

入力形式

求めた $v_*$v∗​ について、次の無次元量

$$N=\frac{v_*^2}{1\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}}$$N=1 m2s−2v∗2​​

を入力せよ。