電場と磁場が直交する領域における荷電粒子の偏向運動

問題文

互いに垂直な均一の電場と均一の磁場が存在する空間を考える。

$x y z$xyz 直交座標系において、領域 $y > 0$y>0 には $+y$+y 方向に大きさが一定の均一な電場 $\vec{E} = (0, E, 0)$E=(0,E,0) および $+z$+z 方向に大きさが一定の均一な磁場 $\vec{B} = (0, 0, B)$B=(0,0,B) がかけられている。領域 $y \le 0$y≤0 には電場・磁場ともに存在しない。

時刻 $t = 0$t=0 において、質量 $m$m、電荷 $q$q ($q > 0$q>0) の荷電粒子を原点 $(0, 0, 0)$(0,0,0) から $+y$+y 方向に初速 $v_0$v0​ で入射させた。荷電粒子の運動は $x y$xy 平面内に限られるものとし、重力の影響および放射によるエネルギー損失は無視できるものとする。

この荷電粒子は領域 $y > 0$y>0 内で運動した後、ある時刻 $t_1 > 0$t1​>0 において再び $x$x 軸上（$y = 0$y=0）の点 $(x_1, 0, 0)$(x1​,0,0) に到達した。

荷電粒子が領域 $y > 0$y>0 内にある間の $y$y 方向の運動方程式から、荷電粒子が到達する最大高さ $y_{\text{max}}$ymax​ は $y_{\text{max}} = \frac{m (v_0 + v_d)^2 - m v_d^2}{2 q E}$ymax​=2qEm(v0​+vd​)2−mvd2​​ と表される。ここで $v_d = \frac{E}{B}$vd​=BE​ はドリフト速度の大きさである。

この最大高さ $y_{\text{max}}$ymax​ を表す式は、無次元量 $k = \frac{v_0}{v_d}$k=vd​v0​​ を用いると次のように書き直すことができる。

$$y_{\text{max}} = \frac{m v_0^2}{2 q E} \cdot C$$ymax​=2qEmv02​​⋅C

このとき、係数 $C$C は $k$k の関数として $C = 1 + \frac{2}{k}$C=1+k2​ と表される。

荷電粒子が $x$x 軸上に到達した位置 $x_1$x1​ は、$x_1 = -\frac{m}{q B} \left( v_0 \pi + v_d \alpha \right)$x1​=−qBm​(v0​π+vd​α) と表される。ここで $\alpha$α は定数である。

定数 $\alpha$α を用いて無次元量 $R = \frac{\alpha}{\pi}$R=πα​ を定義するとき、$R$R は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表される。自然数 $p, q$p,q の和 $p + q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 1.0 \times 10^{-26} \text{ kg}$m=1.0×10−26 kg
• $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$q=1.6×10−19 C
• $E = 2.0 \times 10^{3} \text{ V/m}$E=2.0×103 V/m
• $B = 0.10 \text{ T}$B=0.10 T
• $v_0 = 4.0 \times 10^{4} \text{ m/s}$v0​=4.0×104 m/s

入力形式

求める自然数 $p + q$p+q の値をそのまま答えよ。