斜面上の物体とバネによる単振動

問題文

水平面に対して傾角 $\theta$θ をなす、なめらかな斜面がある。この斜面上に質量 $m$m の小物体を置き、斜面に平行に配置されたバネ定数 $k$k の軽いはねの上端に取り付ける。ばねの他端は斜面の上端に固定されている。

重力加速度の大きさを $g$g とする。小物体をばねが自然長となる位置で静かに放したところ、小物体は斜面上でつりあいの位置を中心として振幅 $A$A の単振動を始めた。

この単振動の振幅 $A$A と周期 $T$T を求め、これらを用いて定義される量 $S = \frac{T^2 g \sin\theta}{A}$S=AT2gsinθ​ の値を評価したい。

量 $S$S はある定数 $\alpha$α を用いて $S = \alpha \pi^2$S=απ2 と表される。$\alpha$α は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表されるとき、自然数 $p, q$p,q の和 $p + q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 0.50 \text{ kg}$m=0.50 kg
• $k = 20 \text{ N/m}$k=20 N/m
• $\theta = 30^\circ$θ=30∘

入力形式

求める自然数 $p + q$p+q の値をそのまま答えよ。