コップの結露と熱量保存

問題文

ある部屋の中で、質量 $m_w$mw​ の水が入ったコップに初期温度 $T_1$T1​ の氷を投入した。投入後しばらく放置すると、氷はすべて融けて水になり、コップ内の水全体の温度は $T_2$T2​ で一定となった。

この状態から、さらに時間を置いてコップを部屋の中に放置したところ、コップの外側に空気中の水蒸気が結露し、質量 $m_d$md​ の水滴が付着した。十分な時間が経過したとき、コップの内側の水と外側の水滴はすべて一体となって熱平衡状態に達し、全体の温度は $T_3$T3​ となった。この過程において、以下の条件を仮定する。

・熱の移動は、コップの外側で水蒸気が液体の水へと結露（凝縮）するときに放出する潜熱のみを考慮し、周囲の空気からの直接的な熱伝導や、コップ自体の熱容量、水の蒸発は無視できる。 ・水蒸気が液体の水へ相転移するときの凝縮熱の大きさを $L$L とする。 ・水の比熱を $c_w$cw​ とする。

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ を文字式で導出した後、与えられた制約の数値を代入し、$T_3$T3​ の値を求めよ。

制約

• コップ内の水の質量: $m_w = 0.158 \text{ kg}$mw​=0.158 kg
• 投入した氷の質量: $m_i = 0.040 \text{ kg}$mi​=0.040 kg
• 全体の初期温度: $T_2 = 278 \text{ K}$T2​=278 K
• 結露した水滴の質量: $m_d = 0.002 \text{ kg}$md​=0.002 kg
• 水の凝縮熱: $L = 2.52 \times 10^6 \text{ J/kg}$L=2.52×106 J/kg
• 水の比熱: $c_w = 4200 \mathrm{ J/(kg\cdot K)}$cw​=4200J/(kg⋅K)

入力形式

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ の値を自然数でそのまま入力せよ。