GWCB004 問題3

解説

物理法則の適用

外部（周囲の空気）からの直接的な熱伝導や容器の熱容量を無視するため、系全体のエネルギーは保存されます。コップの外側で水蒸気が結露するときに放出する潜熱（凝縮熱）が、すべてコップ内の水および付着した水滴の温度上昇に使われます。したがって、熱量保存の法則が成り立ちます。

各物質の熱量変化の立式

熱平衡状態における全体の温度を $T_3$T3​ とします。

1. 水蒸気の結露によって放出される熱量 $Q_{\text{release}}$Qrelease​ 質量 $m_d$md​ の水蒸気がすべて液体へと相転移するときに放出する熱量です。

$Q_{\text{release}} = m_d L$Qrelease​=md​L

1. コップ内の水が得る熱量 $Q_{\text{in}}$Qin​ コップ内には、もともとあった水 $m_w$mw​ と、融けて水になった氷 $m_i$mi​ の合計質量 $(m_w + m_i)$(mw​+mi​) の水が存在しています。これが初期温度 $T_2$T2​ から $T_3$T3​ まで温められます。

$Q_{\text{in}} = (m_w + m_i) c_w (T_3 - T_2)$Qin​=(mw​+mi​)cw​(T3​−T2​)

1. 結露した水滴が得る熱量 $Q_{\text{out}}$Qout​ 外側に付着した水滴の質量は $m_d$md​ です。この水滴もコップの表面で初期温度 $T_2$T2​ の状態から全体の最終温度 $T_3$T3​ まで温められます。

$Q_{\text{out}} = m_d c_w (T_3 - T_2)$Qout​=md​cw​(T3​−T2​)

熱量保存則による $T_3$T3​ の導出

放出された熱量と、系全体が得た熱量が等しくなるため、熱量保存の式は以下のようになります。

$Q_{\text{release}} = Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}$Qrelease​=Qin​+Qout​

$m_d L = (m_w + m_i) c_w (T_3 - T_2) + m_d c_w (T_3 - T_2)$md​L=(mw​+mi​)cw​(T3​−T2​)+md​cw​(T3​−T2​)

右辺を $(T_3 - T_2)$(T3​−T2​) で整理します。

$m_d L = (m_w + m_i + m_d) c_w (T_3 - T_2)$md​L=(mw​+mi​+md​)cw​(T3​−T2​)

この式を $T_3$T3​ について解きます。

$T_3 - T_2 = \frac{m_d L}{(m_w + m_i + m_d) c_w}$T3​−T2​=(mw​+mi​+md​)cw​md​L​

$T_3 = T_2 + \frac{m_d L}{(m_w + m_i + m_d) c_w}$T3​=T2​+(mw​+mi​+md​)cw​md​L​

数値代入と計算

与えられた制約の数値を代入します。

• 分子の計算

$m_d L = 0.002 \times 2.52 \times 10^6 = 5040 \text{ J}$md​L=0.002×2.52×106=5040 J

• 分母の計算 温められる水全体の合計質量は次のようになります。

$m_w + m_i + m_d = 0.158 + 0.040 + 0.002 = 0.200 \text{ kg}$mw​+mi​+md​=0.158+0.040+0.002=0.200 kg

全体の熱容量は次のようになります。

$(m_w + m_i + m_d) c_w = 0.200 \times 4200 = 840 \text{ J/K}$(mw​+mi​+md​)cw​=0.200×4200=840 J/K

これらを代入して温度変化 $\Delta T$ΔT を求めます。

$\Delta T = \frac{5040}{840} = 6 \text{ K}$ΔT=8405040​=6 K

したがって、最終温度 $T_3$T3​ は以下のようになります。

$T_3 = 278 + 6 = 284 \text{ K}$T3​=278+6=284 K

入力すべき自然数は 284 です。