真冬の朝の熱力学

問題文

非常に寒い真冬の朝、部屋の窓が開いていたため、室内の温度は氷点下まで冷え切っていました。窓を閉め、完全に断熱された密閉容器（この部屋をモデル化したもの）の中に、質量 $m_a$ma​ の空気が閉じ込められている状態にします。このときの空気の初期温度は $T_1$T1​ でした。

ここに、暖房代わりとして、初期温度 $T_2$T2​ の熱いお湯を質量 $m_w$mw​ だけ容器内に静かに置き、再び密閉しました。

十分な時間が経過した後、室内の空気とお湯は熱平衡状態に達し、全体の温度は $T_3$T3​ となりました。この過程において、以下の条件を仮定します。

• お湯から空気への熱移動のみを考慮し、外部との熱のやり取りや容器の熱容量は無視できます。
• 空気の体積変化は無視でき、定積変化として扱います。空気の定積比熱を $c_v$cv​ とします。
• 水の比熱を $c_w$cw​ とします。
• 水の融点を $T_0$T0​ とし、最終的に水は凍ることなくすべて液体のままであり、蒸発もしないものとします。

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ を文字式で導出した後、与えられた制約の数値を代入し、$T_3$T3​ の値を求めよ。

制約

• 空気の質量: $m_a = 35 \mathrm{ kg}$ma​=35kg
• 空気の定積比熱: $c_v = 720 \mathrm{ J/(kg\cdot K)}$cv​=720J/(kg⋅K)
• 空気の初期温度: $T_1 = 266 \mathrm{ K}$T1​=266K
• お湯の質量: $m_w = 0.8 \mathrm{ kg}$mw​=0.8kg
• お湯の初期温度: $T_2 = 368 \mathrm{ K}$T2​=368K
• 水の比熱: $c_w = 4200 \mathrm{ J/(kg\cdot K)}$cw​=4200J/(kg⋅K)
• 水の融点: $T_0 = 273 \mathrm{ K}$T0​=273K

入力形式

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ の値を自然数でそのまま入力せよ。