GWCB004 問題2

解説

物理法則の適用

外部との熱のやり取りがない断熱密閉容器内での現象であるため、系全体のエネルギーは保存されます。すなわち、「空気が得た熱量 $Q_{\text{gain}}$Qgain​」と「お湯（水）が失った熱量 $Q_{\text{loss}}$Qloss​」は等しくなります。

$Q_{\text{gain}} = Q_{\text{loss}}$Qgain​=Qloss​

各物質の熱量変化の立式

熱平衡状態における全体の温度を $T_3$T3​ とします。

1. 空気が得た熱量 $Q_{\text{gain}}$Qgain​ 空気は温度 $T_1$T1​ から $T_3$T3​ まで定積変化で温められます。 $Q_{\text{gain}} = m_a c_v (T_3 - T_1)$Qgain​=ma​cv​(T3​−T1​)

2. お湯が失った熱量 $Q_{\text{loss}}$Qloss​ お湯は温度 $T_2$T2​ から $T_3$T3​ まで冷却されます。 $Q_{\text{loss}} = m_w c_w (T_2 - T_3)$Qloss​=mw​cw​(T2​−T3​)

熱量保存則による $T_3$T3​ の導出

熱量保存の式にそれぞれを代入します。

$m_a c_v (T_3 - T_1) = m_w c_w (T_2 - T_3)$ma​cv​(T3​−T1​)=mw​cw​(T2​−T3​)

この式を $T_3$T3​ について整理します。

$(m_a c_v + m_w c_w) T_3 = m_a c_v T_1 + m_w c_w T_2$(ma​cv​+mw​cw​)T3​=ma​cv​T1​+mw​cw​T2​

$T_3 = \frac{m_a c_v T_1 + m_w c_w T_2}{m_a c_v + m_w c_w}$T3​=ma​cv​+mw​cw​ma​cv​T1​+mw​cw​T2​​

数値代入と計算

与えられた制約の数値を代入します。

• $m_a c_v = 35 \times 720 = 25200 \text{ J/K}$ma​cv​=35×720=25200 J/K
• $m_w c_w = 0.8 \times 4200 = 3360 \text{ J/K}$mw​cw​=0.8×4200=3360 J/K

分母は次のようになります。 $m_a c_v + m_w c_w = 25200 + 3360 = 28560 \text{ J/K}$ma​cv​+mw​cw​=25200+3360=28560 J/K

分子は次のようになります。 $m_a c_v T_1 + m_w c_w T_2 = 25200 \times 266 + 3360 \times 368$ma​cv​T1​+mw​cw​T2​=25200×266+3360×368 $= 6703200 + 1236480 = 7939680 \text{ J}$=6703200+1236480=7939680 J

したがって、$T_3$T3​ は以下のように求まります。 $T_3 = \frac{7939680}{28560} = 278 \text{ K}$T3​=285607939680​=278 K

この温度は摂氏に換算すると $278 - 273 = 5 \text{ }^{\circ}\text{C}$278−273=5 ∘C であり、水の融点 $T_0 = 273 \text{ K}$T0​=273 K を上回っているため、「水は凍らず液体のままである」という問題文の仮定を満たしています。四捨五入や近似計算を挟むことなく、綺麗に整数値として割り切れます。

入力すべき自然数は 278 です。