非対称摂動を受ける等温線のマクスウェル構成

問題文

単一成分流体を一定温度 $T$T に保つ。相転移近傍で、モル体積 $v$v に対する一様相の等温状態方程式が

$$P(v;\varepsilon) = P_0+a x-bx^3+\varepsilon c x^4, \qquad x=\frac{v-v_0}{v_0}$$P(v;ε)=P0​+ax−bx3+εcx4,x=v0​v−v0​​

で表されるとする。

ここで $\varepsilon$ε は正の無次元パラメータであり、$\varepsilon\to0^+$ε→0+ を考える。この状態方程式は $|x|<x_{\max}$∣x∣<xmax​ の範囲でのみ有効な現象論的記述であり、この範囲内の二つの一様相以外に相平衡の候補はないものとする。

二相共存時のモル体積を $v_\ell<v_g$vℓ​<vg​、共存圧力を $P_{\mathrm M}$PM​ とする。

$\varepsilon=0$ε=0 の二相共存解に連続につながる解について、その存在と局所一意性を確認したうえで、$v_\ell$vℓ​、$v_g$vg​、$P_{\mathrm M}$PM​ を $\varepsilon$ε の二次まで求めよ。また、得られた二つの一様相が等温圧縮率に関して局所的に安定であることを確認せよ。

制約

• $P_0=5\times10^6\,\mathrm{Pa}$P0​=5×106Pa
• $v_0=1.2\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/mol}$v0​=1.2×10−4m3/mol
• $a=4\times10^5\,\mathrm{Pa}$a=4×105Pa
• $b=8\times10^5\,\mathrm{Pa}$b=8×105Pa
• $c=4\times10^5\,\mathrm{Pa}$c=4×105Pa
• $x_{\max}=1$xmax​=1

入力形式

得られた二相共存体積から

$$D(\varepsilon) = \left( \frac{v_g-v_\ell}{2v_0} \right)^2$$D(ε)=(2v0​vg​−vℓ​​)2

を作り、

$$D(\varepsilon) = D_0+D_1\varepsilon+D_2\varepsilon^2 +O(\varepsilon^3)$$D(ε)=D0​+D1​ε+D2​ε2+O(ε3)

と展開する。

$D_2$D2​ を既約分数

$$D_2=\frac{p}{q}$$D2​=qp​

と表したとき、自然数 $p+q$p+q を入力せよ。