ばね付きピストンに封入された理想気体の熱力学

問題文

滑らかに動く質量 $M$M の熱を全く通さないピストンが備わった、断面積 $S$S の断熱シリンダーが床に鉛直に固定されている。 シリンダーの内部には $n$n の単原子分子理想気体が封入されている。 シリンダーの底面とピストンの間には、ばね定数 $k$k の理想的なばねが鉛直に配置されており、シリンダー底面とピストンを接続している。 シリンダー外部の大気圧を $P_0$P0​、重力加速度の大きさを $g$g とする。

初期状態において、気体は温度 $T_0$T0​ で熱平衡状態にあり、このとき、内部のばねはちょうど自然長であった。このときの気体の体積を $V_0$V0​ とする。 次に、シリンダー内部に設置された体積と熱容量が無視できるヒーターを用いて気体にゆっくりと熱を与えたところ、ピストンは上昇を始め、気体の体積がちょうど初期の2倍（$2V_0$2V0​）になったところで加熱を止めた。

この過程において、ヒーターが気体に与えた総熱量 $Q$Q を求めよ。 ただし、気体定数を $R$R とし、ピストンやシリンダーの熱容量は無視できるものとする。ばねの体積および熱容量も無視できるものとする。

制約

*   $n = 0.20 \text{ mol}$n=0.20 mol *   $T_0 = 300 \text{ K}$T0​=300 K *   $P_0 = 1.00 \times 10^5 \text{ Pa}$P0​=1.00×105 Pa *   $M = 25.0 \text{ kg}$M=25.0 kg *   $S = 1.00 \times 10^{-2} \text{ m}^2$S=1.00×10−2 m2 *   $k = 1.00 \times 10^3 \text{ N/m}$k=1.00×103 N/m *   $g = 9.80 \text{ m/s}^2$g=9.80 m/s2 *   $R = 8.30 \text{ J/(mol \cdot K)}$R=8.30 J/(mol \cdotK)

入力形式

ヒーターが気体に与えた総熱量 $Q$Q の値をジュール単位で求め、その数値を自然数で回答せよ。