連鎖崩壊における反跳運動とドップラー効果

問題文

静止している質量 $M_A$MA​ の原子核Aが $\alpha$α 崩壊し、質量 $M_B$MB​ の原子核B（励起状態）と質量 $m_\alpha$mα​ の $\alpha$α 粒子になった。このとき、$\alpha$α 粒子はある直線上を速さ $v_\alpha$vα​ で放出され、原子核Bは同直線上を反対方向に速さ $v_B$vB​ で反跳した。

その後、運動中の原子核Bは、自身の進行方向と同じ前方の同一直線上に向けて $\gamma$γ 線を放出し、基底状態の原子核B'（質量 $M_{B'}$MB′​）になった。このときBの静止系で測った $\gamma$γ 線の振動数は $\nu_0$ν0​ であったが、実験室系の前方にある静止した検出器で観測された振動数は $\nu$ν であった。

基底状態となった原子核B'はやがて静止し、その後 $\beta^-$β− 崩壊を起こして質量 $M_C$MC​ の原子核Cと質量 $m_e$me​ の電子（$\beta$β 粒子）、および反ニュートリノになった。この崩壊で放出された電子の最大運動エネルギーは $K_e$Ke​ であった。

以下の条件および近似に従って、$\alpha$α 粒子の速さ $v_\alpha$vα​ を求めよ。

• 原子核の反跳速度は光速 $c$c に比べて十分に小さく、$\alpha$α 崩壊においては古典力学の運動量保存則が成り立つとする。
• $\gamma$γ 線観測におけるドップラー効果は、近似式 $\nu = \nu_0 \left(1 + \frac{v_B}{c}\right)$ν=ν0​(1+cvB​​) を用いること。
• $\gamma$γ 線放出に伴う原子核Bの反跳エネルギーによる質量欠損への影響は極めて小さいため無視してよい（すなわち $\gamma$γ 線放出の前後で $M_B c^2 = M_{B'} c^2 + h\nu_0$MB​c2=MB′​c2+hν0​ が厳密に成り立つとする）。
• $\beta^-$β− 崩壊において電子が最大運動エネルギーを持つとき、反ニュートリノのエネルギーはゼロとなる。また、このときの原子核Cの反跳エネルギーは無視してよい。

制約

• $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$c=3.0×108 m/s （真空中での光速）
• $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$h=6.6×10−34 J s （プランク定数）
• $M_C = 3.319972 \times 10^{-25} \text{ kg}$MC​=3.319972×10−25 kg
• $m_e = 9.0 \times 10^{-31} \text{ kg}$me​=9.0×10−31 kg
• $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27} \text{ kg}$mα​=6.64×10−27 kg
• $K_e = 7.2 \times 10^{-14} \text{ J}$Ke​=7.2×10−14 J
• $\nu_0 = 1.5 \times 10^{20} \text{ Hz}$ν0​=1.5×1020 Hz
• $\nu = 1.5015 \times 10^{20} \text{ Hz}$ν=1.5015×1020 Hz

入力形式

速さ $v_\alpha \text{ [m/s]}$vα​ [m/s] の値を計算し、その値を $1000$1000 で割った自然数を入力せよ。