放射性壊変における原子核の崩壊速度と残存率

ある放射性同位体の原子核が壊変し、別の安定な原子核へ変化する現象を考える。

時刻 $t = 0$t=0 における未崩壊の原子核の数を $N_0$N0​ とする。単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時刻 $t$t に存在する未崩壊の原子核の数 $N(t)$N(t) に比例する。この比例定数を崩壊定数 $\lambda$λ と呼ぶ。

この原子核の数が初期の半分 $N(T) = \frac{1}{2}N_0$N(T)=21​N0​ に減少するまでの時間を半減期 $T$T と定義する。

ここで、時刻 $t = 2T$t=2T から $t = 3T$t=3T までの時間区間に崩壊する原子核の数を $\Delta N$ΔN とし、初期の原子核の数 $N_0$N0​ に対する割合 $\frac{\Delta N}{N_0}$N0​ΔN​ を考える。

この割合を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表すとき、自然数 $p, q$p,q の和 $p + q$p+q の値を求めよ。