質量が連続的に変化する容器と重りの連動運動

問題文

傾斜角 $\theta$θ の滑らかな斜面上に、上部が開口した質量 $M$M の容器が置かれている。斜面の上端には固定された滑車があり、容器に結ばれた軽くて伸びない糸が滑車を経由して、鉛直下方に吊り下げられた質量 $m_0$m0​ の重りと連結されている。

最初、容器内には質量 $m_{\text{w}}$mw​ の水が入っており、糸はたるむことなく張った状態で、系全体は静止状態に保たれている。時刻 $t=0$t=0 において、静かに系を放すと同時に、容器の底面に設けられた小さな穴から水が一定の質量変化率 $R_{\text{w}} = -\frac{\mathrm{d}m_{\text{w}}}{\mathrm{d}t}$Rw​=−dtdmw​​ （定数）で下方に漏れ出し始めた。水は容器に対して相対速度ゼロで流出するものとし、漏れ出た水が容器や斜面に与える力積は無視できる。

容器内の水がすべて漏れ出た瞬間（時刻 $t=T$t=T）、重りの初期位置からの下降距離を $h$h、そのときの容器の速度の大きさを $v$v とする。

糸および滑車の質量、滑車の摩擦、および空気抵抗はすべて無視できるものとする。また、重力加速度の大きさを $g$g とする。

定数 $K = \ln \frac{4}{3}$K=ln34​ を用いると、無次元量である比 $\frac{v^2}{g h}$ghv2​ は $\frac{(a K - b)^2}{c K - d}$cK−d(aK−b)2​ の形で表される。ここで、$a, b, c, d$a,b,c,d は自然数である。

積 $a \times b \times c \times d$a×b×c×d の値を求めよ。

制約

• $M = 0.40 \text{ kg}$M=0.40 kg
• $m_0 = 0.80 \text{ kg}$m0​=0.80 kg
• $m_{\text{w}} = 0.40 \text{ kg}$mw​=0.40 kg
• $\theta = 30^\circ$θ=30∘
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2

入力形式

無次元比 $\frac{v^2}{g h}$ghv2​ を構成する自然数係数の積 $a \times b \times c \times d$a×b×c×d の自然数値。