GWCA004 問題4

解説

1. 運動方程式の立式

時刻 $t$t における容器内の水の質量を $m(t)$m(t) とおきます。問題の設定より、水の漏出率は一定値 $R_{\text{w}}$Rw​ であるため、水がすべて漏れ出るまでの時間（排水時間）を $T = \frac{m_{\text{w}}}{R_{\text{w}}}$T=Rw​mw​​ とすると、$m(t)$m(t) は次のように表されます。

$m(t) = m_{\text{w}} \left( 1 - \frac{t}{T} \right) \quad (0 \le t \le T)$m(t)=mw​(1−Tt​)(0≤t≤T)

時刻 $t$t における「容器＋残っている水」の合計質量は $m_{\text{total}}(t) = M + m(t)$mtotal​(t)=M+m(t) です。 糸の張力を $T_{\text{s}}$Ts​、重りの加速度（斜面方向の加速度）を $a(t)$a(t) とすると、運動方程式は以下のようになります。

• 重り： $m_0 g - T_{\text{s}} = m_0 a(t)$m0​g−Ts​=m0​a(t)
• 容器＋水： $T_{\text{s}} - m_{\text{total}}(t) g \sin\theta = m_{\text{total}}(t) a(t)$Ts​−mtotal​(t)gsinθ=mtotal​(t)a(t)

張力 $T_{\text{s}}$Ts​ を消去して加速度 $a(t)$a(t) を求めます。

$a(t) = \frac{m_0 - (M + m(t)) \sin\theta}{m_0 + M + m(t)} g$a(t)=m0​+M+m(t)m0​−(M+m(t))sinθ​g

制約値を代入します：$\sin 30^\circ = 0.5$sin30∘=0.5、$M = 0.40 \text{ kg}$M=0.40 kg、$m_0 = 0.80 \text{ kg}$m0​=0.80 kg、$m_{\text{w}} = 0.40 \text{ kg}$mw​=0.40 kg。

$a(t) = \frac{0.80 - (0.40 + m(t)) \times 0.5}{0.80 + 0.40 + m(t)} g = \frac{0.60 - 0.5 m(t)}{1.20 + m(t)} g$a(t)=0.80+0.40+m(t)0.80−(0.40+m(t))×0.5​g=1.20+m(t)0.60−0.5m(t)​g

無次元変数 $u = \frac{t}{T}$u=Tt​ （$0 \le u \le 1$0≤u≤1）を導入し、$m(t) = 0.40(1-u)$m(t)=0.40(1−u) を代入して整理すると：

$a(u) = \frac{0.60 - 0.20(1-u)}{1.20 + 0.40(1-u)} g = \frac{0.40 + 0.20 u}{1.60 - 0.40 u} g = \frac{2 + u}{2(4 - u)} g$a(u)=1.20+0.40(1−u)0.60−0.20(1−u)​g=1.60−0.40u0.40+0.20u​g=2(4−u)2+u​g

2. 速度 $v$v と下降距離 $h$h の厳密計算

速度 $v$v の導出：

時刻 $T$T（$u=1$u=1）における速度 $v$v は加速度の積分より求まります（$\mathrm{d}t = T \mathrm{d}u$dt=Tdu）。

$v = \int_0^T a(t) \mathrm{d}t = g T \int_0^1 \frac{2 + u}{2(4 - u)} \mathrm{d}u$v=∫0T​a(t)dt=gT∫01​2(4−u)2+u​du

被積分関数を変形します： $\frac{2 + u}{4 - u} = -1 + \frac{6}{4 - u}$4−u2+u​=−1+4−u6​

したがって、 $v = \frac{g T}{2} \left[ -u - 6 \ln(4 - u) \right]_0^1 = \frac{g T}{2} \left( -1 - 6 \ln 3 + 6 \ln 4 \right) = \frac{g T}{2} \left( 6 \ln \frac{4}{3} - 1 \right)$v=2gT​[−u−6ln(4−u)]01​=2gT​(−1−6ln3+6ln4)=2gT​(6ln34​−1)

下降距離 $h$h の導出：

下降距離 $h$h は部分積分を用いて以下のように計算できます。

$h = \int_0^T v(t) \mathrm{d}t = g T^2 \int_0^1 \frac{(1 - u)(2 + u)}{2(4 - u)} \mathrm{d}u$h=∫0T​v(t)dt=gT2∫01​2(4−u)(1−u)(2+u)​du

分子を計算すると $(1-u)(2+u) = 2 - u - u^2$(1−u)(2+u)=2−u−u2 です。割算を行うと： $\frac{-u^2 - u + 2}{-u + 4} = u + 5 - \frac{18}{u - 4} = u + 5 + \frac{18}{4 - u}$−u+4−u2−u+2​=u+5−u−418​=u+5+4−u18​

積分を実行します： $h = \frac{g T^2}{2} \left[ \frac{u^2}{2} + 5u - 18 \ln(4 - u) \right]_0^1 = \frac{g T^2}{2} \left( \frac{11}{2} - 18 \ln 3 + 18 \ln 4 \right) = \frac{g T^2}{4} \left( 36 \ln \frac{4}{3} - 11 \right)$h=2gT2​[2u2​+5u−18ln(4−u)]01​=2gT2​(211​−18ln3+18ln4)=4gT2​(36ln34​−11)

3. 無次元比 $\frac{v^2}{gh}$ghv2​ の計算と係数の決定

$K = \ln \frac{4}{3}$K=ln34​ とおくと、速度 $v$v および距離 $h$h は次のように書けます。

$v = \frac{g T}{2} (6 K - 1)$v=2gT​(6K−1) $h = \frac{g T^2}{4} (36 K - 11)$h=4gT2​(36K−11)

これらより $v^2$v2 を計算して比 $\frac{v^2}{gh}$ghv2​ を求めます。

$v^2 = \frac{g^2 T^2}{4} (6 K - 1)^2$v2=4g2T2​(6K−1)2

$\frac{v^2}{gh} = \frac{\frac{g^2 T^2}{4} (6 K - 1)^2}{g \cdot \frac{g T^2}{4} (36 K - 11)} = \frac{(6 K - 1)^2}{36 K - 11}$ghv2​=g⋅4gT2​(36K−11)4g2T2​(6K−1)2​=36K−11(6K−1)2​

問題文で与えられた形式 $\frac{(a K - b)^2}{c K - d}$cK−d(aK−b)2​ と比較すると、各係数は以下のようになります。

• $a = 6$a=6
• $b = 1$b=1
• $c = 36$c=36
• $d = 11$d=11

求める値 $a \times b \times c \times d$a×b×c×d は：

$a \times b \times c \times d = 6 \times 1 \times 36 \times 11 = 2376$a×b×c×d=6×1×36×11=2376

解答

入力すべき値：2376