LC回路と回転導体棒の連成振動

問題文

水平な面上に、半径 $a$a の細い円環状のなめらかな導線（レール）が固定されている。円環の中心を $O$O とする。この空間には、鉛直下向きに磁束密度 $B$B の一様な磁場が存在する。

質量 $m$m、長さ $a$a のまっすぐな導体棒（以下、棒1と呼ぶ）を用意し、一端を $O$O に固定して、もう一端 $P$P を円環に接触させながら、面上をなめらかに回転できるようにした。棒1の慣性モーメントは $\frac{1}{3}ma^2$31​ma2 である。

円環上の固定点 $A$A と中心 $O$O の間に、電気容量 $C$C のコンデンサー、自己インダクタンス $L$L のコイル、およびスイッチを直列に接続した。回路の電気抵抗、棒とレールの間の摩擦、空気抵抗はすべて無視できる。コイル以外の自己インダクタンスも無視できる。

初期状態において、棒1は静止しており、コンデンサーの $O$O 側の極板には電荷 $+Q_0$+Q0​、反対側の極板には電荷 $-Q_0$−Q0​ が蓄えられている。

時刻 $t=0$t=0 にスイッチを閉じた。時刻 $t$t におけるコンデンサーの $O$O 側の極板の電荷を $Q(t)$Q(t)、棒1を $O$O から $P$P に向かって流れる電流を $i(t)$i(t)、棒1の反時計回りの角速度を $\omega(t)$ω(t) とする。

棒に生じる誘導起電力の向きを判断し、回路方程式と棒1の回転の運動方程式を組み合わせるとよい。

制約に示した数値はすべて厳密値として扱う。

制約

• $a=0.300\,\mathrm{m}$a=0.300m
• $m=0.150\,\mathrm{kg}$m=0.150kg
• $B=0.800\,\mathrm{T}$B=0.800T
• $C=1.00\,\mathrm{F}$C=1.00F

入力形式

棒1が回転できる場合の電荷 $Q(t)$Q(t) の振動の角振動数を $\Omega_1$Ω1​ とする。

また、棒1を固定した場合の通常のLC回路の角振動数を、

$$\Omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$Ω0​=LC​1​

とする。

無次元比

$$R=\frac{\Omega_1^2}{\Omega_0^2}$$R=Ω02​Ω12​​

を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表し、$p+q$p+q を入力せよ。