電荷移動で加速する回転導体棒

問題文

水平な面上に、半径 $a$a の細い円環状のなめらかな導線（レール）が固定されている。円環の中心を $O$O とする。この空間には、鉛直下向きに磁束密度 $B$B の一様な磁場が存在する。

質量 $m$m、長さ $a$a のまっすぐな導体棒（以下、棒1と呼ぶ）を用意し、一端を $O$O に固定して、もう一端 $P$P を円環に接触させながら、面上をなめらかに回転できるようにした。棒1の慣性モーメントは $\frac{1}{3}ma^2$31​ma2 である。

中心 $O$O と円環上の固定点の間に、電気容量 $C$C のコンデンサー、正の自己インダクタンス $L$L をもつコイル、およびスイッチを直列に接続した。回路の電気抵抗、棒とレールの間の摩擦、空気抵抗はすべて無視できる。コイル以外の自己インダクタンスも無視できる。

初期状態において、棒1は静止しており、コンデンサーの $O$O 側の極板には電荷 $+Q_0$+Q0​、反対側の極板には電荷 $-Q_0$−Q0​ が蓄えられている。

時刻 $t=0$t=0 にスイッチを閉じた。コンデンサーの $O$O 側の極板の電荷が初めて $Q_1$Q1​ になった瞬間を考える。この瞬間に棒1に生じている誘導起電力の大きさを $V$V とする。

棒1を $O$O から $P$P に向かって流れる電流を正とし、棒1の反時計回りの角速度を正とする。スイッチを閉じてから電荷が初めて $Q_1$Q1​ になるまでに流れた電気量と、棒1の角運動量の変化との関係を考えるとよい。

制約に示した数値はすべて厳密値として扱う。

制約

• $a=0.300\,\mathrm{m}$a=0.300m
• $m=0.100\,\mathrm{kg}$m=0.100kg
• $B=1.20\,\mathrm{T}$B=1.20T
• $C=2.00\,\mathrm{F}$C=2.00F
• $Q_0=0.500\,\mathrm{C}$Q0​=0.500C
• $Q_1=0.200\,\mathrm{C}$Q1​=0.200C

入力形式

コンデンサーの電圧の大きさは $\frac{Q_1}{C}$CQ1​​ である。

無次元比

$$R=\frac{V}{Q_1/C}$$R=Q1​/CV​

を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表し、$p+q$p+q を入力せよ。