自由膨張と途中停止する熱接触による圧力の和

問題文

断熱された剛体容器の内部に、気体を通さない三つの小容器A、B、Cが固定されている。容器、小容器、壁、仕切り板の熱容量は無視できるものとする。

小容器Aと小容器Bには、それぞれ気体室と真空室を隔てる薄い仕切り板がある。小容器Cには仕切り板はない。小容器A、B、Cには、それぞれ単原子理想気体A、B、Cが入っており、三つの気体は互いに混ざらない。各小容器内の気体は、それぞれ初期状態で一様な温度をもつ熱平衡状態にある。

小容器Aと小容器Bの間には所定の共通壁があり、この共通壁は小容器Bの気体室に接している。小容器Bと小容器Cの間にも所定の共通壁がある。これらの共通壁は、気体を通さず熱だけを通す状態と、熱も通さない状態を切り替えられる。初期状態では、どちらの共通壁も熱を通さない状態である。切り替え操作によって気体に仕事はされず、外部との熱の出入りもない。熱接触中は、各気体内部の熱伝導が十分速く、各時刻で各気体に一様な温度を割り当てられるものとする。

気体A、B、Cの物質量をそれぞれ $n_{\mathrm A},n_{\mathrm B},n_{\mathrm C}$nA​,nB​,nC​ とする。気体Aの初期体積を $V_{\mathrm A}$VA​、仕切り板を取り除いた後に気体Aが占める体積を $W_{\mathrm A}$WA​ とする。気体Bの初期体積を $V_{\mathrm B}$VB​、仕切り板を取り除いた後に気体Bが占める体積を $W_{\mathrm B}$WB​ とする。気体Cの体積を $V_{\mathrm C}$VC​ とする。初期温度をそれぞれ $T_{\mathrm A},T_{\mathrm B},T_{\mathrm C}$TA​,TB​,TC​ とする。気体定数を $R$R とし、単原子理想気体の内部エネルギーは

$$U=\frac{3}{2}nRT$$U=23​nRT

である。

次の操作を順に行う。

小容器Aの仕切り板を瞬時に取り除く。この操作で気体Aに仕事はされず、外部との熱の出入りもない。十分時間がたって、気体Aは体積 $W_{\mathrm A}$WA​ 全体を占め、熱平衡に達する。

次に、小容器Aと小容器Bの間の共通壁を、気体を通さず熱だけを通す状態に切り替える。この間、気体Aが占める体積は $W_{\mathrm A}$WA​、気体Bが占める体積は $V_{\mathrm B}$VB​ のままである。気体Aと気体Bの圧力が等しくなった瞬間に、共通壁を再び熱を通さない状態に戻す。

次に、小容器Bの仕切り板を瞬時に取り除く。この操作で気体Bに仕事はされず、外部との熱の出入りもない。十分時間がたって、気体Bは体積 $W_{\mathrm B}$WB​ 全体を占め、熱平衡に達する。

最後に、小容器Bと小容器Cの間の共通壁を、気体を通さず熱だけを通す状態に切り替える。この間、気体Bが占める体積は $W_{\mathrm B}$WB​、気体Cが占める体積は $V_{\mathrm C}$VC​ のままである。十分時間がたって、気体Bと気体Cは共通の温度に達する。その後、共通壁を熱を通さない状態に戻す。

すべての操作後の気体A、B、Cの圧力をそれぞれ $P_{\mathrm A f},P_{\mathrm B f},P_{\mathrm C f}$PAf​,PBf​,PCf​ とする。また、最初の状態における気体Aの圧力を $P_{\mathrm A0}$PA0​ とする。比

$$\frac{P_{\mathrm A f}+P_{\mathrm B f}+P_{\mathrm C f}}{P_{\mathrm A0}}$$PA0​PAf​+PBf​+PCf​​

を求めよ。

制約

• $n_{\mathrm A}=1.00\ \mathrm{mol}$nA​=1.00 mol
• $n_{\mathrm B}=2.00\ \mathrm{mol}$nB​=2.00 mol
• $n_{\mathrm C}=1.00\ \mathrm{mol}$nC​=1.00 mol
• $V_{\mathrm A}=0.300\ \mathrm{m^3}$VA​=0.300 m3
• $W_{\mathrm A}=0.400\ \mathrm{m^3}$WA​=0.400 m3
• $V_{\mathrm B}=0.400\ \mathrm{m^3}$VB​=0.400 m3
• $W_{\mathrm B}=0.600\ \mathrm{m^3}$WB​=0.600 m3
• $V_{\mathrm C}=0.500\ \mathrm{m^3}$VC​=0.500 m3
• $T_{\mathrm A}=900\ \mathrm{K}$TA​=900 K
• $T_{\mathrm B}=300\ \mathrm{K}$TB​=300 K
• $T_{\mathrm C}=900\ \mathrm{K}$TC​=900 K

入力形式

$\dfrac{P_{\mathrm A f}+P_{\mathrm B f}+P_{\mathrm C f}}{P_{\mathrm A0}}$PA0​PAf​+PBf​+PCf​​ を既約分数

$$\frac{p}{q}$$qp​

で表す。入力すべき自然数は

$$p+q$$p+q

である。