GEO002 問題3

気体Aの自由膨張

小容器Aの仕切り板を取り除くと、気体Aは真空室へ自由膨張します。このとき気体Aは外部へ仕事をせず、熱の出入りもありません。熱力学第一法則より、気体Aの内部エネルギーは変化しません。

単原子理想気体の内部エネルギーは

U=\frac{3}{2}nRT

なので、内部エネルギーが変化しないことは温度が変化しないことを意味します。したがって、自由膨張後の気体Aの温度は

900\ \mathrm{K}

のままです。このとき気体Aの体積は

0.400\ \mathrm{m^3}

です。

気体Aと気体Bの熱接触

気体Aと気体Bを熱接触させている間、気体Aの体積は $W_{\mathrm A}$ 、気体Bの体積は $V_{\mathrm B}$ のままです。また、共通壁の熱容量は無視でき、外部との熱の出入りも仕事のやりとりもないので、気体Aと気体Bを合わせた内部エネルギーは保存されます。

圧力が等しくなった瞬間の気体A、Bの温度をそれぞれ $T_{\mathrm A1},T_{\mathrm B1}$ とします。圧力が等しい条件は、理想気体の状態方程式より

\frac{n_{\mathrm A}RT_{\mathrm A1}}{W_{\mathrm A}} = \frac{n_{\mathrm B}RT_{\mathrm B1}}{V_{\mathrm B}}

です。制約の値を代入すると、

\frac{1.00T_{\mathrm A1}}{0.400} = \frac{2.00T_{\mathrm B1}}{0.400}

となるので、

T_{\mathrm A1}=2T_{\mathrm B1}

です。

一方、内部エネルギー保存より

n_{\mathrm A}T_{\mathrm A}+n_{\mathrm B}T_{\mathrm B} = n_{\mathrm A}T_{\mathrm A1}+n_{\mathrm B}T_{\mathrm B1}

です。したがって

1.00\cdot 900+2.00\cdot 300 = 1.00T_{\mathrm A1}+2.00T_{\mathrm B1}

です。 $T_{\mathrm A1}=2T_{\mathrm B1}$ を代入すると、

1500=4T_{\mathrm B1}

です。よって

T_{\mathrm B1}=375\ \mathrm{K}

であり、

T_{\mathrm A1}=750\ \mathrm{K}

です。

この後、気体Aは最後まで断熱された固定体積 $W_{\mathrm A}$ の中にあるので、最終圧力は

P_{\mathrm A f} = \frac{n_{\mathrm A}RT_{\mathrm A1}}{W_{\mathrm A}}

です。したがって

P_{\mathrm A f} = \frac{1.00\cdot R\cdot 750}{0.400} = 1875R

です。

気体Bの自由膨張

次に、小容器Bの仕切り板を取り除くと、気体Bは真空室へ自由膨張します。この操作でも気体Bは仕事をせず、熱の出入りもありません。したがって、気体Bの温度は

375\ \mathrm{K}

のままです。

この時点で、気体Bの体積は

W_{\mathrm B}=0.600\ \mathrm{m^3}

になります。

気体Bと気体Cの熱接触

最後に、気体Bと気体Cを熱接触させます。この間、気体Bの体積は $W_{\mathrm B}$ 、気体Cの体積は $V_{\mathrm C}$ のままです。また、共通壁の熱容量は無視でき、外部との熱の出入りも仕事のやりとりもありません。したがって、気体Bと気体Cを合わせた内部エネルギーは保存されます。

最終共通温度を $T_{\mathrm f}$ とすると、

n_{\mathrm B}T_{\mathrm B1}+n_{\mathrm C}T_{\mathrm C} = (n_{\mathrm B}+n_{\mathrm C})T_{\mathrm f}

です。制約の値を代入すると、

2.00\cdot 375+1.00\cdot 900 = (2.00+1.00)T_{\mathrm f}

です。したがって

T_{\mathrm f}=550\ \mathrm{K}

です。

よって、気体Bの最終圧力は

P_{\mathrm B f} = \frac{n_{\mathrm B}RT_{\mathrm f}}{W_{\mathrm B}}

なので、

P_{\mathrm B f} = \frac{2.00\cdot R\cdot 550}{0.600} = \frac{5500}{3}R

です。

また、気体Cの最終圧力は

P_{\mathrm C f} = \frac{n_{\mathrm C}RT_{\mathrm f}}{V_{\mathrm C}}

なので、

P_{\mathrm C f} = \frac{1.00\cdot R\cdot 550}{0.500} = 1100R

です。

初期圧力との比

最初の状態における気体Aの圧力は、状態方程式より

P_{\mathrm A0} = \frac{n_{\mathrm A}RT_{\mathrm A}}{V_{\mathrm A}}

です。したがって

P_{\mathrm A0} = \frac{1.00\cdot R\cdot 900}{0.300} = 3000R

です。

求める比は

\frac{P_{\mathrm A f}+P_{\mathrm B f}+P_{\mathrm C f}}{P_{\mathrm A0}} = \frac{ 1875R+\dfrac{5500}{3}R+1100R }{3000R}

です。 $R$ は約分されるので、

\frac{P_{\mathrm A f}+P_{\mathrm B f}+P_{\mathrm C f}}{P_{\mathrm A0}} = \frac{ 1875+\dfrac{5500}{3}+1100 }{3000}

です。分子をまとめると、

1875+\frac{5500}{3}+1100 = \frac{5625+5500+3300}{3} = \frac{14425}{3}

です。したがって

\frac{P_{\mathrm A f}+P_{\mathrm B f}+P_{\mathrm C f}}{P_{\mathrm A0}} = \frac{14425}{9000} = \frac{577}{360}

です。

よって

p=577,\qquad q=360

です。入力すべき自然数は

p+q=577+360=937

です。

入力すべき自然数は

\boxed{937}

です。

GEO002 問題3

自由膨張と途中停止する熱接触による圧力の和

問題文

制約

入力形式

Solution

気体Aの自由膨張

気体Aと気体Bの熱接触

気体Bの自由膨張

気体Bと気体Cの熱接触

初期圧力との比