量子三体問題における引力バリアとエフィモフ的スケーリング

問題文

ある混合次元量子三体系では、ボルン・オッペンハイマー近似を用いることで、重い2粒子間の相対距離 $r \ (r>0)$r (r>0) に関する有効1次元問題へ帰着される。この系の波動関数 $u(r)$u(r) は、以下のゼロエネルギー・シュレディンガー方程式を満たすとする。

$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u(r)}{dr^2}+\left(\frac{C_3}{r^3}-\frac{C_2}{r^2}\right)u(r)=0$−2μℏ2​dr2d2u(r)​+(r3C3​​−r2C2​​)u(r)=0

ここで $\mu$μ は換算質量、$C_3>0$C3​>0 は短距離で働く斥力的な $1/r^3$1/r3 相互作用の強さ、$C_2>0$C2​>0 はエフィモフ効果に対応する有効的な引力 $1/r^2$1/r2 相互作用の強さである。便宜上、無次元のパラメータ $R, s$R,s を以下のように定義する。

$R=\frac{2\mu C_3}{\hbar^2},\quad s^2+\frac{1}{4}=\frac{2\mu C_2}{\hbar^2}$R=ℏ22μC3​​,s2+41​=ℏ22μC2​​

本問題では $s>0$s>0 であるとする。 この方程式は、適切な変数変換 $x=2\sqrt{R/r}$x=2R/r​ および $u(r)=\sqrt{r}F(x)$u(r)=r​F(x) を用いることで、変形ベッセル方程式に帰着できる。

短距離領域 ($r \to 0$r→0) において確率密度が発散しない（すなわち物理的に許容される）解を選び、その解が中距離領域（短距離の $1/r^3$1/r3 斥力が支配的となる特性長 $R$R よりは十分に大きい距離でありつつ、波動関数の外側への減衰長よりは十分に小さい領域）においてどのような漸近形を持つか調べよ。

中距離領域において波動関数 $u(r)$u(r) は対数周期的な振動を示し、空間スケールの変換 $r\to\lambda r$r→λr （$\lambda>1$λ>1）に対して確率密度の空間構造（節の位置など）が自己相似性を持つことがわかる。このとき、隣り合う束縛状態の空間的広がり $a_n, a_{n+1}$an​,an+1​ ($a_n<a_{n+1}$an​<an+1​) の比は $a_{n+1}/a_n=\lambda$an+1​/an​=λ となる。

さらに、極めて浅い束縛状態のエネルギー $E_n$En​ は、空間的広がりに対して $E_n\simeq-\frac{\hbar^2}{2\mu a_n^2}$En​≃−2μan2​ℏ2​ とスケールすることが知られている。 この系において、隣り合う束縛状態のエネルギーの比を $\Lambda=\frac{E_n}{E_{n+1}}$Λ=En+1​En​​ （ここで $|E_n|>|E_{n+1}|$∣En​∣>∣En+1​∣ とする）と定義する。

以上の条件をもとに、ある特殊な実験系について考える。

制約

この実験系では、各物理定数が無次元化された有効引力パラメータにおいて、厳密に以下の関係式を満たすように調整されている。

$\frac{2\mu C_2}{\hbar^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{419603^2}$ℏ22μC2​​=41​+41960321​

解答形式

この系におけるエネルギー比 $\Lambda$Λ は、ある整数 $W$W を用いて $\Lambda = e^{W\pi}$Λ=eWπ と厳密に表すことができる。 整数 $W$W の値を半角数字で答えよ。