二連リンクばね振動器の固有モード

問題文

水平な実験台の上に、2本の一様な細い剛体棒を直列に連結した小振動実験装置がある。

第1の棒を $OA$OA、第2の棒を $AB$AB とする。2本の棒の長さはいずれも $\ell$ℓ、質量はそれぞれ $m_1,m_2$m1​,m2​ とする。

点 $O$O は実験台に固定されており、第1の棒は $O$O を通り実験台に垂直な回転軸のまわりを自由に回転できる。点 $A$A では2本の棒が摩擦のない回転軸によって連結されており、第1の棒と第2の棒は互いに自由に回転できる。棒は実験台に平行な水平面内だけを運動するため、重力による位置エネルギーの変化は考えなくてよい。

実験台上に $xy$xy 座標をとり、点 $O$O を原点とする。平衡状態では、$O,A,B$O,A,B はこの順に $x$x 軸正方向へ一直線上に並んでいる。

第1の棒上で、点 $O$O から距離 $a$a の位置に点 $P$P をとる。点 $P$P には、ばね定数 $k_1$k1​、自然長 $L_1$L1​ の軽い線形ばね1の一端を取り付け、他端を実験台上の固定点 $C$C に取り付ける。平衡状態では、点 $C$C は点 $P$P から $y$y 軸正方向へ距離 $L_1$L1​ だけ離れており、ばね1は自然長である。

また、第2の棒の端点 $B$B には、ばね定数 $k_2$k2​、自然長 $L_2$L2​ の軽い線形ばね2の一端を取り付け、他端を実験台上の固定点 $D$D に取り付ける。平衡状態では、点 $D$D は点 $B$B から $y$y 軸正方向へ距離 $L_2$L2​ だけ離れており、ばね2も自然長である。

両ばねの端部は自由に回転できるよう取り付けられており、ばねはその両端を結ぶ方向にのみ力を及ぼすものとする。考える範囲では、両ばねは引張・圧縮のいずれに対してもフックの法則に従う。

棒、ばね、回転軸どうしは互いに干渉せず、回転軸の摩擦、空気抵抗、ばねの質量は無視できるものとする。

第1の棒が $x$x 軸となす角を $\theta_1$θ1​、第2の棒が $x$x 軸となす角を $\theta_2$θ2​ とし、いずれも反時計回りを正とする。$\theta_2$θ2​ は第1の棒に対する相対角ではなく、$x$x 軸から測った第2の棒の絶対角である。

平衡状態

$$\theta_1=\theta_2=0$$θ1​=θ2​=0

の近くで小振動を考える。$\theta_i$θi​ および $\dot{\theta}_i$θ˙i​ を同程度の微小量とみなし、ラグランジアンについてこれらの2次までの項を残し、3次以上の項を無視する。

ラグランジュ方程式から得られる2つの固有角振動数を $\omega_-<\omega_+$ω−​<ω+​ とする。

制約

• $m_1=0.200\,\mathrm{kg}$m1​=0.200kg
• $m_2=0.150\,\mathrm{kg}$m2​=0.150kg
• $\ell=0.300\,\mathrm{m}$ℓ=0.300m
• $a=0.100\,\mathrm{m}$a=0.100m
• $k_1=12\,\mathrm{N/m}$k1​=12N/m
• $k_2=18\,\mathrm{N/m}$k2​=18N/m

入力形式

無次元比

$$\frac{\omega_+^2}{\omega_-^2}$$ω−2​ω+2​​

を求める。

これを

$$\frac{p+q\sqrt{r}}{s}$$sp+qr​​

と表す。ただし $p,q,r,s$p,q,r,s は正の整数、$r$r は平方因子をもたず、

$$\operatorname{gcd}(p,q,s)=1$$gcd(p,q,s)=1

とする。

$p+q+r+s$p+q+r+s を自然数で入力せよ。