逆ヘルムホルツコイルと超伝導リングが織りなす磁気スプリング

問題文

空間に $xyz$xyz 座標系をとる。真空の透磁率を $\mu_0$μ0​ とする。 $z$z 軸を中心軸とする、半径 $a$a の2つの円形固定コイルA, Bがある。 コイルAは $z = d$z=d の平面上に固定されており、$z$z 軸正の向きから見て反時計回りに一定の電流 $I_0$I0​ が流れている。 コイルBは $z = -d$z=−d の平面上に固定されており、$z$z 軸正の向きから見て時計回りに一定の電流 $I_0$I0​ が流れている。

この系の中心軸上に、質量 $m$m、半径 $b$b ($b \ll a$b≪a)、自己インダクタンス $L$L の超伝導円形コイルC（電気抵抗は $0$0 ）が配置されている。 コイルCは、その中心が常に $z$z 軸上にあり、かつコイル面が常に $xy$xy 平面と平行を保つように拘束されながら、$z$z 軸上をなめらかに運動できる。 $z$z 軸正の向きと右ねじの関係にある向きを、コイルCに流れる電流 $i$i の正の向きとする。 コイルCは非常に小さいため、コイルA, Bの電流がコイルCを貫いて作る磁束 $\Phi_{ext}$Φext​ は、中心軸上の磁束密度 $B_z(z)$Bz​(z) とコイルCの面積の積で近似できるものとする。

コイルCは初期状態として原点 $z=0$z=0 に固定されており、このときコイルCに流れる電流は $i = 0$i=0 であった。 時刻 $t=0$t=0 にコイルCの固定を静かに外すと同時に、$z$z 軸方向に微小な初速度を与えたところ、コイルCは原点付近で微小振動を行った。重力の影響は無視できるものとする。

制約

各物理量には以下の数値が割り当てられている。

• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$μ0​=4π×10−7 H/m
• $a = 0.04 \text{ m}$a=0.04 m
• $d = 0.03 \text{ m}$d=0.03 m
• $b = 0.005 \text{ m}$b=0.005 m
• $I_0 = 10 \text{ A}$I0​=10 A
• $m = \frac{4}{3} \times 10^{-3} \text{ kg}$m=34​×10−3 kg
• $L = 3 \times 10^{-7} \text{ H}$L=3×10−7 H

入力形式

コイルCの微小振動の周期 $T$T は、互いに素な自然数 $A, B$A,B を用いて以下のように表される。

$$T = \frac{A}{B \pi} \text{ [s]}$$T=BπA​ [s]

$A+B$A+B の値を自然数で解答せよ。