電磁誘導と棒の端点まわりの等速円運動

問題文

鉛直下向きに磁束密度の大きさが $B$B の一界な磁界が存在する空間内の水平面内に、一端が固定された十分長い導線のレールが配置されている。この固定された端点 O を中心とし、長さ $L$L、質量 $m$m、電気抵抗 $R$R の均質で細い金属棒 OA が、一端 O のまわりに滑らかに回転できるよう水平面内に置かれている。

金属棒の他端 A は、中心 O、半径 $L$L の円弧状に敷かれた抵抗の無視できる導線レールと常に電気的に接触しながら運動する。点 O と円弧状レールの間には、抵抗値 $r$r の抵抗器が接続されており、回路 OA O を形成している。金属棒 OA 以外の導線および接続部の抵抗、ならびに回路の自己インダクタンスは無視できるものとする。

時刻 $t=0$t=0 において、金属棒 OA は静止状態から、点 O を中心として一定の外力によるトルク（力のモモント） $T$T を受けて回転を開始した。金属棒が回転すると、電磁誘導によって回路に電流が流れて磁場から誘導抵抗（安培力によるトルク）を受け、十分な時間が経過すると、金属棒は一定の角速度 $\omega$ω で等速円運動を行うようになった。

この十分時間が経過した等速円運動の状態において、回路全体で消費される全電力を $P$P とし、金属棒 OA の全質量に加わる重力加速度の大きさを $g$g とする。

無次元量 $\frac{P \cdot R}{T^2}$T2P⋅R​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表すとき、$p+q$p+q の値を求めよ。ただし、抵抗値の関係は $r = 2R$r=2R とする。

制約

• $m = 0.10 \text{ kg}$m=0.10 kg
• $L = 0.50 \text{ m}$L=0.50 m
• $R = 3.0 \mathrm{ \Omega}$R=3.0Ω
• $r = 6.0 \mathrm{ \Omega}$r=6.0Ω
• $B = 1.2 \text{ T}$B=1.2 T
• $T = 0.080 \text{ N}\cdot\text{m}$T=0.080 N⋅m
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2

入力形式

無次元比 $\frac{P \cdot R}{T^2}$T2P⋅R​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したときの分子と分母の和 $p+q$p+q の自然数値。