GWCA004 問題2

解説

1. 誘導起電力の導出

回転する金属棒 OA 上の、中心 O から距離 $r'$r′ の位置にある微小部分 $\mathrm{d}r'$dr′ の速度の大きさは $v(r') = r' \omega$v(r′)=r′ω です。 磁場 $B$B は鉛直下向きで、運動方向と磁場は直交しているため、この微小部分に生じる誘導起電力 $\mathrm{d}V$dV は次のようになります。 $\mathrm{d}V = v(r') B \mathrm{d}r' = B \omega r' \mathrm{d}r'$dV=v(r′)Bdr′=Bωr′dr′

これを金属棒全体（$r' = 0$r′=0 から $r' = L$r′=L まで）で積分することにより、金属棒 OA に生じる全誘導起電力 $V_{\text{ind}}$Vind​ が求まります。 $V_{\text{ind}} = \int_{0}^{L} B \omega r' \mathrm{d}r' = \frac{1}{2} B L^2 \omega$Vind​=∫0L​Bωr′dr′=21​BL2ω

2. 回路を流れる電流

回路全体の合成抵抗 $R_{\text{total}}$Rtotal​ は、金属棒の抵抗 $R$R と外部抵抗 $r$r の和となります。 $R_{\text{total}} = R + r$Rtotal​=R+r

オームの法則より、回路を流れる電流 $I$I は、 $I = \frac{V_{\text{ind}}}{R_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{2} B L^2 \omega}{R + r}$I=Rtotal​Vind​​=R+r21​BL2ω​ となります。

3. 外力によるトルクと磁気力によるトルクのつりあい

中心 O から距離 $r'$r′ にある微小部分に働くアンペール力（磁力）の大きさは $\mathrm{d}F = I B \mathrm{d}r'$dF=IBdr′ であり、その向きは運動と反対方向（回転を妨げる向き）です。 この微小部分が中心 O のまわりにつくるトルクの大きさ $\mathrm{d}T_{\text{mag}}$dTmag​ は、 $\mathrm{d}T_{\text{mag}} = r' \mathrm{d}F = I B r' \mathrm{d}r'$dTmag​=r′dF=IBr′dr′ となります。

これを棒全体で積分すると、磁気力による全抗トルク $T_{\text{mag}}$Tmag​ が得られます。 $T_{\text{mag}} = \int_{0}^{L} I B r' \mathrm{d}r' = I B \int_{0}^{L} r' \mathrm{d}r' = \frac{1}{2} I B L^2$Tmag​=∫0L​IBr′dr′=IB∫0L​r′dr′=21​IBL2

十分時間が経過した等速円運動の状態では、外力のトルク $T$T と磁気力によるトルク $T_{\text{mag}}$Tmag​ がつりあうため、 $T = T_{\text{mag}} = \frac{1}{2} I B L^2$T=Tmag​=21​IBL2 が成り立ちます。

この式に電流 $I$I の表現を代入します。 $T = \frac{1}{2} \left( \frac{\frac{1}{2} B L^2 \omega}{R + r} \right) B L^2 = \frac{B^2 L^4 \omega}{4(R + r)}$T=21​(R+r21​BL2ω​)BL2=4(R+r)B2L4ω​

4. 消費電力 $P$P の計算

回路全体で消費される全電力 $P$P は、発生する Joule 熱の総和に等しく、外力が金属棒にする仕事率 $P_{\text{ext}} = T \omega$Pext​=Tω とも一致します。 $P = I^2 R_{\text{total}} = I^2 (R + r)$P=I2Rtotal​=I2(R+r)

トルクの式 $T = \frac{1}{2} I B L^2$T=21​IBL2 より、$I B L^2 = 2T$IBL2=2T であるため、 誘導起電力は $V_{\text{ind}} = \frac{1}{2} B L^2 \omega$Vind​=21​BL2ω であり、$I = \frac{V_{\text{ind}}}{R + r}$I=R+rVind​​ から、 $\omega = \frac{2(R+r)I}{B L^2}$ω=BL22(R+r)I​ となります。

したがって、仕事率（全消費電力）は、 $P = T \omega = T \cdot \frac{2(R+r)I}{B L^2} = T \cdot \frac{2(R+r) \cdot \frac{2T}{B L^2}}{B L^2}$P=Tω=T⋅BL22(R+r)I​=T⋅BL22(R+r)⋅BL22T​​ $P = \frac{4 T^2 (R + r)}{B^2 L^4}$P=B2L44T2(R+r)​ とも表せますが、代数的に無次元量 $\frac{P \cdot R}{T^2}$T2P⋅R​ を求めるために直接整理します。

トルク $T$T と角速度 $\omega$ω の関係より、 $\frac{T}{\omega} = \frac{B^2 L^4}{4(R + r)}$ωT​=4(R+r)B2L4​

また、$P = T \omega$P=Tω より $\omega = \frac{P}{T}$ω=TP​ です。これを代入すると、 $\frac{T}{\frac{P}{T}} = \frac{T^2}{P} = \frac{B^2 L^4}{4(R + r)}$TP​T​=PT2​=4(R+r)B2L4​ $P = \frac{4(R + r)}{B^2 L^4} T^2$P=B2L44(R+r)​T2

ここで、トルク $T = \frac{1}{2} I B L^2$T=21​IBL2 および電流 $I = \frac{B L^2 \omega}{2(R + r)}$I=2(R+r)BL2ω​ の関係から、問題で与えられた条件 $r = 2R$r=2R を代入して代数的関係を整理します。 $R + r = R + 2R = 3R$R+r=R+2R=3R

トルクの式は、 $T = \frac{B^2 L^4 \omega}{12 R}$T=12RB2L4ω​ となり、 全消費電力 $P$P は、 $P = T \omega = T \cdot \frac{12 R T}{B^2 L^4} = \frac{12 R T^2}{B^2 L^4}$P=Tω=T⋅B2L412RT​=B2L412RT2​ となります。

5. 比 $\frac{P \cdot R}{T^2}$T2P⋅R​ の導出と数値の計算

求めたい無次元比 $\frac{P \cdot R}{T^2}$T2P⋅R​ を立式します。 $\frac{P \cdot R}{T^2} = \frac{\left(\frac{12 R T^2}{B^2 L^4}\right) \cdot R}{T^2} = \frac{12 R^2}{B^2 L^4}$T2P⋅R​=T2(B2L412RT2​)⋅R​=B2L412R2​

与えられた制約の値を代入します。

• $R = 3.0 \text{ \Omega}$R=3.0 \Omega
• $B = 1.2 \text{ T}$B=1.2 T
• $L = 0.50 \text{ m}$L=0.50 m

$R^2 = 3.0^2 = 9.0$R2=3.02=9.0 $B^2 = 1.2^2 = 1.44 = \frac{36}{25}$B2=1.22=1.44=2536​ $L^4 = (0.50)^4 = \frac{1}{16}$L4=(0.50)4=161​

分母を計算します。 $B^2 L^4 = \frac{36}{25} \times \frac{1}{16} = \frac{9}{100} = 0.09$B2L4=2536​×161​=1009​=0.09

分子を計算します。 $12 R^2 = 12 \times 9.0 = 108$12R2=12×9.0=108

したがって、求める比は、 $\frac{P \cdot R}{T^2} = \frac{108}{0.09} = \frac{10800}{9} = 1200$T2P⋅R​=0.09108​=910800​=1200

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表すと、 $\frac{p}{q} = \frac{1200}{1}$qp​=11200​ となり、$p = 1200, q = 1$p=1200,q=1 です（1200 と 1 は互いに素な自然数です）。

求める値 $p + q$p+q は、 $p + q = 1200 + 1 = 1201$p+q=1200+1=1201

入力すべき自然数は 1201 です。