四分の一周期ずらすと生き残る周波数

問題文

実数値関数 $f(x)$f(x) は $\mathbb{R}$R 上で4回連続微分可能かつ $2\pi$2π 周期であり、恒等的に $0$0 ではないものとする。

$f$f はすべての実数 $x$x に対して、

$$f^{(4)}(x) +A f''(x) +Bf(x) +\frac{C}{2} \left\{ f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) + f\left(x-\frac{\pi}{2}\right) \right\} =0$$f(4)(x)+Af′′(x)+Bf(x)+2C​{f(x+2π​)+f(x−2π​)}=0

を満たしている。

さらに、

$$f(0)=0, \qquad f'(0)=0$$f(0)=0,f′(0)=0

とする。

このような関数 $f$f に対して、

$$R[f] = \frac{ \displaystyle\int_0^{2\pi}\{f'(x)\}^2\,dx }{ \displaystyle\int_0^{2\pi}\{f(x)\}^2\,dx }$$R[f]=∫02π​{f(x)}2dx∫02π​{f′(x)}2dx​

を定める。

制約

• $A=40$A=40
• $B=279$B=279
• $C=135$C=135

入力形式

条件を満たすすべての $f$f の中での $R[f]$R[f] の最小値を求める。

その最小値を既約分数

$\frac{p}{q}$qp​

と表したとき、$p+q$p+q を自然数で入力せよ。