GSO012 問題9

奇妙な方程式をフーリエ成分ごとに見る

一見すると、微分と「$\frac{\pi}{2}$2π​ だけ平行移動した関数」が混在しており、通常の微分方程式とはかなり様子が異なります。

しかし、周期関数に対してはフーリエ成分

$$e^{inx}$$einx

を考えると、微分も平行移動も単なる定数倍として作用します。

$f$f の第 $n$n フーリエ係数を $\widehat f_n$f​n​ とします。

4階微分と2階微分については、

$$\widehat{f^{(4)}}_n = n^4\widehat f_n$$f(4)​n​=n4f​n​

および、

$$\widehat{f''}_n = -n^2\widehat f_n$$f′′​n​=−n2f​n​

です。

一方、平行移動については、

$$f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$f(x+2π​)

の第 $n$n フーリエ係数は、

$$e^{in\pi/2}\widehat f_n$$einπ/2f​n​

となり、

$$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$f(x−2π​)

では、

$$e^{-in\pi/2}\widehat f_n$$e−inπ/2f​n​

となります。

したがって、その和は、

$$2\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\widehat f_n$$2cos(2nπ​)f​n​

です。

元の方程式の第 $n$n フーリエ成分を取り出すと、

$$\left[ n^4 -40n^2 +279 +135\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right] \widehat f_n =0$$[n4−40n2+279+135cos(2nπ​)]f​n​=0

を得ます。

したがって、$\widehat f_n\neq0$f​n​=0 となるためには、

$$n^4 -40n^2 +279 +135\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) =0$$n4−40n2+279+135cos(2nπ​)=0

でなければなりません。

生き残れる整数周波数を探す

ここで、

$$n^4-40n^2+279 = (n^2-9)(n^2-31)$$n4−40n2+279=(n2−9)(n2−31)

と因数分解できます。

$n$n の偶奇によって、

$$\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$cos(2nπ​)

の値が大きく変わります。

まず $n$n が奇数なら、

$$\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0$$cos(2nπ​)=0

です。

したがって、

$$(n^2-9)(n^2-31)=0$$(n2−9)(n2−31)=0

となります。

$n$n は整数なので、

$$n=\pm3$$n=±3

だけが可能です。

次に、

$$n\equiv2\pmod4$$n≡2(mod4)

なら、

$$\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1$$cos(2nπ​)=−1

です。

よって、

$$n^4-40n^2+279-135=0$$n4−40n2+279−135=0

すなわち、

$$n^4-40n^2+144=0$$n4−40n2+144=0

となります。

これは、

$$(n^2-4)(n^2-36)=0$$(n2−4)(n2−36)=0

と因数分解できるので、

$$n=\pm2,\ \pm6$$n=±2, ±6

を得ます。

最後に、

$$n\equiv0\pmod4$$n≡0(mod4)

なら、

$$\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1$$cos(2nπ​)=1

なので、

$$n^4-40n^2+414=0$$n4−40n2+414=0

です。

$u=n^2$u=n2 とおけば左辺は、

$$u^2-40u+414 = (u-20)^2+14$$u2−40u+414=(u−20)2+14

です。

これは常に正なので、この場合には解はありません。

したがって、$f$f に含まれ得る周波数は、

$$2,\ 3,\ 6$$2, 3, 6

だけです。

よって、実数値関数 $f$f は必ず、

$$\begin{aligned} f(x) ={}& a_2\cos2x+b_2\sin2x\\ &+ a_3\cos3x+b_3\sin3x\\ &+ a_6\cos6x+b_6\sin6x \end{aligned}$$f(x)=​a2​cos2x+b2​sin2x+a3​cos3x+b3​sin3x+a6​cos6x+b6​sin6x​

と書けます。

原点で二重に0になる条件

$f(0)=0$f(0)=0 より、

$$a_2+a_3+a_6=0$$a2​+a3​+a6​=0

です。

また、

$$\begin{aligned} f'(x) ={}& -2a_2\sin2x+2b_2\cos2x\\ &-3a_3\sin3x+3b_3\cos3x\\ &-6a_6\sin6x+6b_6\cos6x \end{aligned}$$f′(x)=​−2a2​sin2x+2b2​cos2x−3a3​sin3x+3b3​cos3x−6a6​sin6x+6b6​cos6x​

なので、$f'(0)=0$f′(0)=0 より、

$$2b_2+3b_3+6b_6=0$$2b2​+3b3​+6b6​=0

となります。

興味深いことに、余弦係数と正弦係数にはそれぞれ独立した条件が課されています。

$R[f]$R[f] を係数で表す

異なる整数周波数の三角関数は $0$0 から $2\pi$2π で直交します。

したがって、

$$\int_0^{2\pi}f(x)^2\,dx = \pi \left( a_2^2+b_2^2 +a_3^2+b_3^2 +a_6^2+b_6^2 \right)$$∫02π​f(x)2dx=π(a22​+b22​+a32​+b32​+a62​+b62​)

です。

また、微分すると各周波数 $n$n は $n$n 倍されるため、

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\{f'(x)\}^2\,dx = \pi\bigl[ &4(a_2^2+b_2^2)\\ &+9(a_3^2+b_3^2)\\ &+36(a_6^2+b_6^2) \bigr] \end{aligned}$$∫02π​{f′(x)}2dx=π[​4(a22​+b22​)+9(a32​+b32​)+36(a62​+b62​)]​

です。

したがって、

$$R[f] = \frac{ 4(a_2^2+b_2^2) +9(a_3^2+b_3^2) +36(a_6^2+b_6^2) }{ a_2^2+b_2^2 +a_3^2+b_3^2 +a_6^2+b_6^2 }$$R[f]=a22​+b22​+a32​+b32​+a62​+b62​4(a22​+b22​)+9(a32​+b32​)+36(a62​+b62​)​

となります。

正弦部分の最小値

まず、

$$f_{\mathrm s}(x) = b_2\sin2x+b_3\sin3x+b_6\sin6x$$fs​(x)=b2​sin2x+b3​sin3x+b6​sin6x

だけを考えます。

条件は、

$$2b_2+3b_3+6b_6=0$$2b2​+3b3​+6b6​=0

です。

ここで、

$$b_3=y, \qquad b_6=z$$b3​=y,b6​=z

とおくと、

$$b_2 = -\frac{3y+6z}{2}$$b2​=−23y+6z​

です。

正弦部分についての分子を $N_{\mathrm s}$Ns​、分母を $D_{\mathrm s}$Ds​ とすると、

$$N_{\mathrm s} = 18(y^2+2yz+4z^2)$$Ns​=18(y2+2yz+4z2)

および、

$$D_{\mathrm s} = \frac{ 13y^2+36yz+40z^2 }{4}$$Ds​=413y2+36yz+40z2​

となります。

ここで、いきなり最小値を微分で探す代わりに、

$$N_{\mathrm s} - \frac{36}{7}D_{\mathrm s}$$Ns​−736​Ds​

を計算すると、

$$N_{\mathrm s} - \frac{36}{7}D_{\mathrm s} = \frac{9}{7}(y-4z)^2$$Ns​−736​Ds​=79​(y−4z)2

となります。

右辺は常に $0$0 以上なので、

$$\frac{N_{\mathrm s}}{D_{\mathrm s}} \geq \frac{36}{7}$$Ds​Ns​​≥736​

です。

しかも、

$$y=4z$$y=4z

のとき等号が成立します。

例えば、

$$b_6=1, \qquad b_3=4$$b6​=1,b3​=4

とすれば、

$$b_2=-9$$b2​=−9

となります。

したがって、

$$f(x) = -9\sin2x+4\sin3x+\sin6x$$f(x)=−9sin2x+4sin3x+sin6x

は実際に、

$$R[f]=\frac{36}{7}$$R[f]=736​

を実現します。

余弦部分はそれより小さくできるか

次に余弦部分を考えます。

条件

$$a_2+a_3+a_6=0$$a2​+a3​+a6​=0

を用いて、

$$a_3=y, \qquad a_6=z, \qquad a_2=-y-z$$a3​=y,a6​=z,a2​=−y−z

とします。

余弦部分の分子と分母は、

$$N_{\mathrm c} = 13y^2+8yz+40z^2$$Nc​=13y2+8yz+40z2

および、

$$D_{\mathrm c} = 2(y^2+yz+z^2)$$Dc​=2(y2+yz+z2)

です。

ここでも $\frac{36}{7}$736​ と比較すると、

$$N_{\mathrm c} - \frac{36}{7}D_{\mathrm c} = \frac{ 19y^2-16yz+208z^2 }{7}$$Nc​−736​Dc​=719y2−16yz+208z2​

となります。

分子は、

$$19 \left( y-\frac{8}{19}z \right)^2 + \frac{3888}{19}z^2$$19(y−198​z)2+193888​z2

と変形できます。

したがって、$(y,z)\neq(0,0)$(y,z)=(0,0) なら必ず、

$$N_{\mathrm c} - \frac{36}{7}D_{\mathrm c} >0$$Nc​−736​Dc​>0

です。

よって、0でない余弦部分については、

$$\frac{N_{\mathrm c}}{D_{\mathrm c}} > \frac{36}{7}$$Dc​Nc​​>736​

となります。

全体の最小値

正弦部分と余弦部分は直交しているので、両方を含む場合の $R[f]$R[f] は、それぞれの比の重み付き平均になります。

余弦部分の比は $\frac{36}{7}$736​ より大きく、正弦部分では実際に $\frac{36}{7}$736​ を達成できます。

したがって、全体での最小値は、

$$\min R[f] = \frac{36}{7}$$minR[f]=736​

です。

よって、

$$p=36, \qquad q=7$$p=36,q=7

なので、

$$p+q=43$$p+q=43

となります。

入力すべき自然数は、

$$\boxed{43}$$43​

です。