非並行コンデンサの静電容量

問題文

一辺の長さが $l$l の正方形の上側極板と、十分に大きい水平な下側極板からなるコンデンサがある。初め、2枚の極板は平行であり、極板間距離は $d$d である。

上側極板の一辺を水平な回転軸として固定し、その辺における上下の極板間距離を $d$d に保ったまま、上側極板を角度 $\theta$θ だけ上向きに回転させる。

下側極板上で回転軸に垂直な向きに座標 $X$X を取り、回転軸の真下を $X=0$X=0 とする。

傾けた後の上側極板の下側極板への正射影領域を、回転軸に平行な十分に細い帯に分割する。下側極板上で幅 $\mathrm{d}X$dX の帯について、有効面積を $l\,\mathrm{d}X$ldX、極板間距離をその位置での鉛直距離とする平行平板コンデンサとして近似する。

各微小コンデンサは並列に接続されているものとして扱い、微小部分どうしの相互作用および端効果は無視する。

極板間の空間は一様な誘電率 $\varepsilon$ε をもつものとする。

制約

• $l=7.0\,\mathrm{m}$l=7.0m
• $d=1.0\,\mathrm{m}$d=1.0m
• $\theta=30^\circ$θ=30∘
• $\varepsilon=3.90\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}$ε=3.90×10−11F/m

入力形式

傾けた後の静電容量 $C$C を求める。

その結果を

$$C= \frac{a\sqrt{b}}{c} \ln\frac{d_1}{e} \times10^{-10}\,\mathrm{F}$$C=cab​​lned1​​×10−10F

と表す。

ただし、$a,b,c,d_1,e$a,b,c,d1​,e は自然数であり、$b$b は $1$1 より大きい平方因子をもたず、$a$a と $c$c、および $d_1$d1​ と $e$e はそれぞれ互いに素である。

$a+b+c+d_1+e$a+b+c+d1​+e を入力せよ。