GSO011 問題8

回転軸から下側極板に沿って距離 $X$ だけ離れた位置では、上側極板の高さは $X\tan\theta$ だけ増加します。

したがって、その位置における上下の極板間距離は

h(X)=d+X\tan\theta

です。

また、上側極板の回転軸に垂直な方向の長さは $l$ であるため、下側極板への正射影の長さは

l\cos\theta

です。

よって、 $X$ の範囲は

0\leq X\leq l\cos\theta

となります。

下側極板上で幅 $\mathrm{d}X$ の帯を考えます。

問題文で指定された近似では、この部分の有効面積は

l\,\mathrm{d}X

であり、極板間距離は $h(X)$ です。

したがって、この微小部分の静電容量は

\mathrm{d}C = \frac{\varepsilon l\,\mathrm{d}X} {d+X\tan\theta}

となります。

各微小部分は並列接続として扱うため、全静電容量はこれらを加え合わせればよく、

C = \int_0^{l\cos\theta} \frac{\varepsilon l} {d+X\tan\theta} \,\mathrm{d}X

となります。

積分すると、

C = \frac{\varepsilon l}{\tan\theta} \ln \left( \frac{d+l\sin\theta}{d} \right)

を得ます。

制約より、

\sin30^\circ=\frac{1}{2}, \qquad \tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}

なので、

\frac{d+l\sin\theta}{d} = \frac{1.0+7.0\times\frac{1}{2}}{1.0} = \frac{9}{2}

です。

また、

\frac{\varepsilon l}{\tan\theta} = \left( 3.90\times10^{-11} \right) \times7.0 \times\sqrt{3}

より、

\frac{\varepsilon l}{\tan\theta} = 2.73\sqrt{3}\times10^{-10}\,\mathrm{F}

となります。

したがって、

C = 2.73\sqrt{3} \ln\frac{9}{2} \times10^{-10}\,\mathrm{F}

です。

$2.73=\frac{273}{100}$ であるため、

C = \frac{273\sqrt{3}}{100} \ln\frac{9}{2} \times10^{-10}\,\mathrm{F}

となります。

よって、

a=273, \qquad b=3, \qquad c=100, \qquad d_1=9, \qquad e=2

です。

したがって、

a+b+c+d_1+e = 273+3+100+9+2 = 387

となります。

入力する自然数は $387$ です。

非並行コンデンサの静電容量