二重連成振り子の微小振動における固有モードとハミルトニアンの正準対角化

問題文

鉛直下向きに一様な重力加速度 $g$g の重力が作用する空間において、天井の固定点 $O$O から長さ $L$L の質量を無視できる軽い剛体棒を下垂させ、その先端に質量 $M$M の質点1を取り付ける。さらに、質点1から長さ $L$L の別の質量を無視できる軽い剛体棒を下垂させ、その先端に質量 $M$M の質点2を取り付ける。全体は同一の鉛直平面内のみを運動するものとし、各剛体棒の鉛直軸からの傾き角をそれぞれ $\theta_1, \theta_2$θ1​,θ2​ とする。運動は各剛体棒の傾きが十分に小さい範囲に限定されるものとする。

この系に対して、固定点 $O$O を原点、水平右向きを $x$x 軸、鉛直下向きを $y$y 軸とする二次元直交座標系を設定する。$\theta_i,\dot{\theta}_i$θi​,θ˙i​ を同程度の微小量とみなし、これらについて3次以上の項を無視する微小振動近似のもとで、系のラグランジアン $L_{\mathrm{lag}}=T-V$Llag​=T−V を構築し、各角度に対応する正準運動量 $p_{\theta_1}=\frac{\partial L_{\mathrm{lag}}}{\partial\dot{\theta}_1}$pθ1​​=∂θ˙1​∂Llag​​, $p_{\theta_2}=\frac{\partial L_{\mathrm{lag}}}{\partial\dot{\theta}_2}$pθ2​​=∂θ˙2​∂Llag​​ を定義する。

系のハミルトニアン $H(\theta_1,\theta_2,p_{\theta_1},p_{\theta_2})$H(θ1​,θ2​,pθ1​​,pθ2​​) を記述し、ハミルトンの標準方程式から座標の微小振動に関する連立微分方程式を導出する。この系が特定の固有振動数 $\omega$ω で同期して振動する固有モード（通常振動モード）を仮定したとき、得られる二つの固有振動数を $\omega_A,\omega_B$ωA​,ωB​（ただし $\omega_A<\omega_B$ωA​<ωB​）とする。

このとき、二つの固有振動数の比 $R=\frac{\omega_B}{\omega_A}$R=ωA​ωB​​ を求めよ。

制約

• $M = 0.600\ \mathrm{kg}$M=0.600 kg
• $L = 1.50\ \mathrm{m}$L=1.50 m
• $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$g=9.81 m/s2

入力形式

無次元比 $R$R は、$A,B$A,B を互いに素な自然数として $R=\sqrt{A+\sqrt{B}}$R=A+B​​ と表される。 自然数の積 $A\times B$A×B の値を求めよ。