GSO009 問題10

解説

1. 厳密な座標設定と微小近似

各質点の位置座標 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を剛体棒の傾き角 $\theta_1,\theta_2$ を用いて厳密に表します。

x_1=L\sin\theta_1,\qquad y_1=L\cos\theta_1

x_2=L\sin\theta_1+L\sin\theta_2,\qquad y_2=L\cos\theta_1+L\cos\theta_2

これらを時間微分すると、

\dot{x}_1=L\dot{\theta}_1\cos\theta_1,\qquad \dot{y}_1=-L\dot{\theta}_1\sin\theta_1

\dot{x}_2=L\dot{\theta}_1\cos\theta_1+L\dot{\theta}_2\cos\theta_2

\dot{y}_2=-L\dot{\theta}_1\sin\theta_1-L\dot{\theta}_2\sin\theta_2

となります。

2. 運動エネルギーとポテンシャルエネルギー

系の運動エネルギーは、

T=\frac12M(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2) +\frac12M(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2)

です。

ここで、

\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2=L^2\dot{\theta}_1^2

および、

\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2 =L^2\dot{\theta}_1^2+L^2\dot{\theta}_2^2 +2L^2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)

より、

T=\frac12ML^2 \left[ 2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2 +2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \right]

となります。

微小振動近似では、

\cos(\theta_1-\theta_2) =1+O(\theta^2)

であり、この補正を $\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2$ に掛けた項は4次以上となるため無視できます。したがって、

T\simeq\frac12ML^2 \left( 2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2 +2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \right)

です。

一方、位置エネルギーは、

V=-Mgy_1-Mgy_2 =-MgL(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)

です。

$\cos\theta\simeq1-\frac12\theta^2$ を用い、運動に影響しない定数項を除くと、

V\simeq\frac12MgL(2\theta_1^2+\theta_2^2)

となります。

3. ラグランジアンと正準運動量

したがって、

L_{\mathrm{lag}} = \frac12ML^2 \left( 2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2 +2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \right) -\frac12MgL(2\theta_1^2+\theta_2^2)

です。

正準運動量は、

p_{\theta_1} =ML^2(2\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)

p_{\theta_2} =ML^2(\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2)

となります。

これを速度について解くと、

\dot{\theta}_1 =\frac{p_{\theta_1}-p_{\theta_2}}{ML^2}

\dot{\theta}_2 =\frac{-p_{\theta_1}+2p_{\theta_2}}{ML^2}

です。

4. ハミルトニアン

ハミルトニアン

H=p_{\theta_1}\dot{\theta}_1 +p_{\theta_2}\dot{\theta}_2-L_{\mathrm{lag}}

を計算すると、

H= \frac{1}{2ML^2} \left( p_{\theta_1}^2-2p_{\theta_1}p_{\theta_2} +2p_{\theta_2}^2 \right) +\frac12MgL(2\theta_1^2+\theta_2^2)

となります。

5. ハミルトンの標準方程式と固有値問題

ハミルトンの標準方程式

\dot{\theta}_i=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta_i}}, \qquad \dot{p}_{\theta_i} =-\frac{\partial H}{\partial\theta_i}

より、

\dot{\theta}_1 =\frac{p_{\theta_1}-p_{\theta_2}}{ML^2}, \qquad \dot{\theta}_2 =\frac{-p_{\theta_1}+2p_{\theta_2}}{ML^2}

および、

\dot{p}_{\theta_1}=-2MgL\theta_1, \qquad \dot{p}_{\theta_2}=-MgL\theta_2

を得ます。

前二式をさらに時間微分すると、

\begin{aligned} \ddot{\theta}_1 &= \frac{\dot{p}_{\theta_1}-\dot{p}_{\theta_2}}{ML^2}\\ &= -\frac{g}{L}(2\theta_1-\theta_2), \end{aligned}

\begin{aligned} \ddot{\theta}_2 &= \frac{-\dot{p}_{\theta_1}+2\dot{p}_{\theta_2}}{ML^2}\\ &= \frac{2g}{L}(\theta_1-\theta_2) \end{aligned}

となります。

$\omega_0^2=\frac{g}{L}$ とおくと、

\begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1\\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} = -\omega_0^2 \begin{pmatrix} 2&-1\\ -2&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1\\ \theta_2 \end{pmatrix}

です。

固有モード

\theta_i(t)=C_i e^{i\omega t}

を仮定すると、

\begin{vmatrix} 2\omega_0^2-\omega^2&-\omega_0^2\\ -2\omega_0^2&2\omega_0^2-\omega^2 \end{vmatrix} =0

となります。

したがって、

(2\omega_0^2-\omega^2)^2-2\omega_0^4=0

すなわち、

\omega^4-4\omega_0^2\omega^2+2\omega_0^4=0

です。

これを解くと、

\omega^2=(2\pm\sqrt2)\omega_0^2

となるので、

\omega_A^2=(2-\sqrt2)\omega_0^2, \qquad \omega_B^2=(2+\sqrt2)\omega_0^2

です。

6. 比 $R$ と自然数化

したがって、

R = \frac{\omega_B}{\omega_A} = \sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}}

です。

根号内を整理すると、

\frac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2} = 3+2\sqrt2 = 3+\sqrt8

なので、

R=\sqrt{3+\sqrt8}

です。

よって、

A=3,\qquad B=8

であり、 $A$ と $B$ は互いに素です。

したがって、

A\times B=24

です。

入力すべき自然数は 24 です。

GSO009 問題10

二重連成振り子の微小振動における固有モードとハミルトニアンの正準対角化

問題文

制約

入力形式

Solution

解説

1. 厳密な座標設定と微小近似

2. 運動エネルギーとポテンシャルエネルギー

3. ラグランジアンと正準運動量

4. ハミルトニアン

5. ハミルトンの標準方程式と固有値問題

6. 比 $R$ と自然数化

二重連成振り子の微小振動における固有モードとハミルトニアンの正準対角化

問題文

制約

入力形式

Solution

解説

1. 厳密な座標設定と微小近似

2. 運動エネルギーとポテンシャルエネルギー

3. ラグランジアンと正準運動量

4. ハミルトニアン

5. ハミルトンの標準方程式と固有値問題

6. 比 RRR と自然数化

6. 比 $R$ と自然数化