風船の熱力学

問題文

大気中（大気圧は $p_0$p0​）で半径 $r_0$r0​、厚み $\delta_0$δ0​ の球形ゴム膜風船に1モルの単原子分子理想気体を封入し、風船の口を縛って密閉した。この時、ゴム膜に張力は働いていない、つまり $r_0$r0​ が「自然長」であるにもかかわらず大気との力学的平衡を保っており、したがって中の気体の温度は、

$$T_0=\frac{4\pi r_0^3p_0}{3R}$$T0​=3R4πr03​p0​​

であった。ただし、$R$R は気体定数とする。

さて、この風船を加熱し中の気体を温めると、風船は球形を保ったまま、また大気との力学的平衡を保ったままゆっくりと膨張した。ただし、風船の口の効果は無視する。この間、風船のゴム膜と中の気体の温度は常に等しいとする。

また、ゴム膜の厚み $\delta$δ は風船の半径 $r$r に比べて非常に小さく、ゴム膜自体の体積は常に一定、すなわち非圧縮であるとする。そして、ゴム膜に働く単位断面積あたりの張力 $\tau$τ は、風船の半径 $r$r、ゴム膜の温度 $T$T、定数係数 $\alpha$α を用いて、

$$\tau=\alpha\frac{r-r_0}{r_0}T$$τ=αr0​r−r0​​T

と表されるとする。

この風船の熱容量 $C=dQ/dT$C=dQ/dT を、風船の半径 $r$r の関数として求めよ。ただし、$dQ$dQ は風船の中の気体が吸収した微小な熱量、$dT$dT は温度 $T$T の微小変化とし、ゴム膜自体の熱容量は無視できるものとする。

制約

特になし。

$r$r の変域は物理的に許される範囲のみを考える。

入力形式

無次元量

$$x=\frac{r}{r_0},\qquad K=\frac{8\pi\alpha r_0^2\delta_0}{3R}$$x=r0​r​,K=3R8παr02​δ0​​

を用いると、

$$C=\frac{3}{2}R\frac{a+bK-cKx}{3+dK-eKx}$$C=23​R3+dK−eKxa+bK−cKx​

と表せる。ただし、$a,b,c,d,e$a,b,c,d,e は自然数とする。

積 $abcde$abcde を入力せよ。