傾けた回折格子で重なる二つのスペクトル線

問題文

真空中で、格子線が互いに平行な理想的な透過型回折格子を用いる。格子面に垂直な向きを法線方向、格子線に垂直で格子面内の向きを $x$x 方向とする。法線から $x$x 正方向側へ測った符号付き角を正とする。

二つの単色成分を含む平行光が、格子線に垂直な同一平面内で、法線に対して符号付き入射角 $\alpha$α をなして回折格子に入射する。透過後の回折光の射出方向が法線となす符号付き角を $\beta$β とする。

回折格子の格子間隔を $d$d、二つの波長を $\lambda_1,\lambda_2$λ1​,λ2​ とする。波長 $\lambda_1$λ1​ の正の $m$m 次回折光と、波長 $\lambda_2$λ2​ の正の $n$n 次回折光が、同じ射出角 $\beta$β の方向に現れた。この二つの回折光はどちらも実在する。

透過型回折格子の回折条件は

$$d(\sin\beta-\sin\alpha)=k\lambda$$d(sinβ−sinα)=kλ

である。ここで $k$k は符号付き回折次数であり、正の回折次数では $k>0$k>0 とする。

このとき、$\sin\alpha$sinα を求めよ。

制約

• $d=2.00\times 10^{-6}\ {\rm m}$d=2.00×10−6 m
• $\lambda_1=4.80\times 10^{-7}\ {\rm m}$λ1​=4.80×10−7 m
• $\lambda_2=7.20\times 10^{-7}\ {\rm m}$λ2​=7.20×10−7 m
• $m=3$m=3
• $n=2$n=2
• $\sin\beta=0.840$sinβ=0.840

入力形式

$(\sin\alpha)$(sinα) を既約分数 $(\dfrac{p}{q})$(qp​) で表す。ただし $(p,q)$(p,q) は正の整数である。このとき、$p+q$p+qを入力せよ。