1次元無限に深い井戸型ポテンシャルにおける摂動と波動関数の重ね合わせ

問題文

質量 $m$m の単一の粒子が、次のポテンシャルエネルギー $V(x)$V(x) をもつ1次元空間に閉じ込められている。

$$V(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le L) \\ \infty & (\text{その他}) \end{cases}$$V(x)={0∞​(0≤x≤L)(その他)​

この系に、次のような微小な摂動ポテンシャル $H'$H′ を加える。

$$H'(x) = \begin{cases} V_0 & (0 \le x \le \frac{L}{2}) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$$H′(x)={V0​0​(0≤x≤2L​)(その他)​

ここで、$V_0$V0​ は正の定数であり、無摂動系の基底状態のエネルギーに比べて十分に小さい（$V_0 \ll \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$V0​≪2mL2π2ℏ2​）ものとする。

摂動を加えた後のハミルトニアンの基底状態の波動関数を $|\psi_1\rangle$∣ψ1​⟩ とし、無摂動系における第1励起状態（量子数 $n=2$n=2 の状態）の波動関数を $|\phi_2\rangle$∣ϕ2​⟩ とする。1次の摂動論を適用したとき、基底状態の波動関数 $|\psi_1\rangle$∣ψ1​⟩ に含まれる第1励起状態の成分の重み（展開係数）の絶対値 $|\langle \phi_2 | \psi_1 \rangle|$∣⟨ϕ2​∣ψ1​⟩∣ を求める。

この絶対値は、無次元の比 $\frac{m L^2 V_0}{\hbar^2}$ℏ2mL2V0​​ および円周率 $\pi$π を用いて、次の形で表される。

$$|\langle \phi_2 | \psi_1 \rangle| = \frac{A}{\pi^3} \cdot \frac{m L^2 V_0}{\hbar^2}$$∣⟨ϕ2​∣ψ1​⟩∣=π3A​⋅ℏ2mL2V0​​

ここで、$A$A は無次元の定数である。

制約

• 特になし（物理定数および設定された文字のまま計算を行う）

入力形式

定数 $A$A の値を計算し、それを分子と分母が互いに素な正の整数である既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ の形で表せ。このとき、分子 $p$p と分母 $q$q の和である $p + q$p+q の値を求めよ。