GWCA002 問題2

解説

無摂動系の固有状態とエネルギー固有値

幅 $L$L の1次元無限に深い井戸型ポテンシャルの無摂動ハミルトニアン $H_0$H0​ に対する固有関数 $\phi_n(x)$ϕn​(x) およびエネルギー固有値 $E_n$En​ は、量子数 $n=1, 2, 3, \dots$n=1,2,3,… を用いて次のように与えられます。

$$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$ϕn​(x)=L2​​sin(Lnπx​) $$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$En​=2mL2n2π2ℏ2​

基底状態は $n=1$n=1、第1励起状態は $n=2$n=2 です。それぞれのエネルギーから、エネルギー差を計算します。

$$E_1 - E_2 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} - \frac{4\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = -\frac{3\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$E1​−E2​=2mL2π2ℏ2​−2mL24π2ℏ2​=−2mL23π2ℏ2​

1次摂動論による波動関数の補正

1次の摂動論において、補正された基底状態の波動関数 $|\psi_1\rangle$∣ψ1​⟩ に含まれる第1励起状態 $|\phi_2\rangle$∣ϕ2​⟩ の展開係数は次のように表されます。

$$\langle \phi_2 | \psi_1 \rangle = \frac{\langle \phi_2 | H' | \phi_1 \rangle}{E_1 - E_2}$$⟨ϕ2​∣ψ1​⟩=E1​−E2​⟨ϕ2​∣H′∣ϕ1​⟩​

摂動行列要素の計算

分子の行列要素 $\langle \phi_2 | H' | \phi_1 \rangle$⟨ϕ2​∣H′∣ϕ1​⟩ を計算します。摂動ポテンシャル $H'(x)$H′(x) は $0$0 から $\frac{L}{2}$2L​ の範囲でのみ $V_0$V0​ となるため、積分範囲に注意して固有関数を代入します。

$$\langle \phi_2 | H' | \phi_1 \rangle = \int_{0}^{\frac{L}{2}} \left(\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right) V_0 \left(\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right) \, dx$$⟨ϕ2​∣H′∣ϕ1​⟩=∫02L​​(L2​​sin(L2πx​))V0​(L2​​sin(Lπx​))dx $$= \frac{2V_0}{L} \int_{0}^{\frac{L}{2}} \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \, dx$$=L2V0​​∫02L​​sin(L2πx​)sin(Lπx​)dx

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$sinAsinB=21​[cos(A−B)−cos(A+B)] を用いて積分を実行します。

$$= \frac{V_0}{L} \int_{0}^{\frac{L}{2}} \left[ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) - \cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right) \right] \, dx$$=LV0​​∫02L​​[cos(Lπx​)−cos(L3πx​)]dx $$= \frac{V_0}{L} \left[ \frac{L}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) - \frac{L}{3\pi} \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right) \right]_{0}^{\frac{L}{2}}$$=LV0​​[πL​sin(Lπx​)−3πL​sin(L3πx​)]02L​​

上限 $x = \frac{L}{2}$x=2L​ を代入すると、 $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$sin(2π​)=1、 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$sin(23π​)=−1 となるため、次のようになります。

$$= \frac{V_0}{L} \left[ \frac{L}{\pi} (1) - \frac{L}{3\pi} (-1) \right] = \frac{4V_0}{3\pi}$$=LV0​​[πL​(1)−3πL​(−1)]=3π4V0​​

展開係数の絶対値と定数の決定

得られた行列要素とエネルギー差を代入して、係数の絶対値を求めます。

$$|\langle \phi_2 | \psi_1 \rangle| = \left| \frac{\frac{4V_0}{3\pi}}{-\frac{3\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}} \right| = \frac{4V_0}{3\pi} \cdot \frac{2mL^2}{3\pi^2 \hbar^2} = \frac{8}{9\pi^3} \frac{mL^2 V_0}{\hbar^2}$$∣⟨ϕ2​∣ψ1​⟩∣=​−2mL23π2ℏ2​3π4V0​​​​=3π4V0​​⋅3π2ℏ22mL2​=9π38​ℏ2mL2V0​​

問題文で定義された形式と照らし合わせます。

$$|\langle \phi_2 | \psi_1 \rangle| = \frac{A}{\pi^3} \cdot \frac{m L^2 V_0}{\hbar^2}$$∣⟨ϕ2​∣ψ1​⟩∣=π3A​⋅ℏ2mL2V0​​

計算結果の分母にある $\pi^3$π3 が、問題文の定義式の分母にある $\pi^3$π3 と正確に相殺されるため、無次元の定数 $A$A は純粋な有理数（分数）として次のように定まります。

$$A = \frac{8}{9}$$A=98​

既約分数化と自然数化

定数 $A = \frac{8}{9}$A=98​ は、分子 $p = 8$p=8、分母 $q = 9$q=9 の分数として表され、これらは互いに素な正の整数（自然数）の条件を満たします。 求める自然数は、 $p + q = 8 + 9 = 17$p+q=8+9=17 です。