ローラーコースターの安全限界モデル：円筒軌道からの脱出と力学的エネルギー保存

問題文

遊園地のローラーコースターのループ軌道を模した物理モデルを考える。現実のコースターは車輪がレールを挟み込んでいるため軌道から離れることはないが、本問題ではレールの上に乗っているだけの単純な質点モデルとして、安全設計の限界を検証する。

水平な直線軌道と、それに滑らかに接続された半径 $R$R の鉛直な円筒状の軌道がある。軌道はすべて滑らかであり、摩擦は無視できるものとする。重力加速度の大きさを $g$g とする。 水平軌道を含む水平面を高さ $y=0$y=0 の基準面とし、鉛直上向きを $y$y 軸の正の向きとする。

水平軌道上で、質量 $m$m の質点（コースターの車両）に水平方向の初速度 $v_0$v0​ を与え、円筒状軌道に進入させる。 円筒状軌道は、水平面上の点から始まり最高点（$y=2R$y=2R）を通って再び水平面へと戻るような形状をしているが、ここでは上昇側の軌道のみに注目する。 質点は軌道に沿って上昇していくが、初速度 $v_0$v0​ がある条件を満たす場合、最高点に達する前に軌道から離れて空中に飛び出す。 質点が軌道から離れる瞬間の高さを $h$h とする。 軌道から離れた後、質点は空中を放物運動し、ある最高点に達する。その最高点の基準面からの高さを $H$H とする。

空気抵抗や質点の大きさは無視できるものとして、高さ $H$H を求めよ。

制約

• $R = 5.0\ \mathrm{m}$R=5.0 m
• $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$g=9.8 m/s2
• $m = 2.0\ \mathrm{kg}$m=2.0 kg
• $v_0 = 14.0\ \mathrm{m/s}$v0​=14.0 m/s

入力形式

計算結果の $H$H は、既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ （$A, B$A,B は互いに素な自然数）を用いて $H = \frac{A}{B}\ \mathrm{m}$H=BA​ m と表される。 $A \times B$A×B の値を計算し、その自然数を入力せよ。