3次元等方的な調和振動子における摂動と縮退エネルギー準位の1次分裂

問題文

質量 $m$m、角振動数 $\omega$ω をもつ3次元等方的な調和振動子ポテンシャルの中に閉じ込められた粒子を考える。無摂動ハミルトニアン $H_0$H0​ は以下のように表される。

$$H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 (x^2 + y^2 + z^2)$$H0​=−2mℏ2​∇2+21​mω2(x2+y2+z2)

この系において、第1励起状態のエネルギー固有値は $E_1^{(0)} = \frac{5}{2}\hbar\omega$E1(0)​=25​ℏω であり、3重に縮退している。

この系に、空間的な異方性を導入する微小な摂動ポテンシャル $H'$H′ を加える。

$$H' = \lambda m \omega^2 (xy + yz + zx)$$H′=λmω2(xy+yz+zx)

ここで、 $\lambda$λ は無次元の正の微小パラメータ（ $\lambda \ll 1$λ≪1 ）である。

この摂動 $H'$H′ によって、3重に縮退していた第1励起状態のエネルギー準位はいくつかの異なるエネルギー準位に分裂する。1次の微摂動論（退化のある摂動論）を適用したとき、分裂した準位の中で最も高いエネルギー準位と最も低いエネルギー準位の差（最大の分裂幅）を $\Delta E$ΔE とする。

この最大分裂幅 $\Delta E$ΔE は、摂動のエネルギー尺度 $\lambda \hbar \omega$λℏω を用いて、次のように表される。

$$\Delta E = C \cdot \lambda \hbar \omega$$ΔE=C⋅λℏω

ここで、$C$C は無次元の定数である。

制約

• 特になし（物理定数および設定された文字のまま計算を行う）

入力形式

定数 $C$C の値を計算し、それを分子と分母が互いに素な正の整数である既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ の形で表せ。 このとき、分数から得られる値 $p$p と $q$q を用いて、次の数式：

$$N = p^3 + q^2 + 100$$N=p3+q2+100

から算出される自然数 $N$N の値を求めよ。