傾けた回折格子で重なる二つのスペクトル線

問題文

真空中で、格子線が互いに平行な理想的な透過型回折格子を用いる。格子面に垂直な向きを法線方向、格子線に垂直で格子面内の向きを (x) 方向とする。法線から (x) 正方向側へ測った符号付き角を正とする。

二つの単色成分を含む平行光が、格子線に垂直な同一平面内で、法線に対して符号付き入射角 (\alpha) をなして回折格子に入射する。透過後の回折光の射出方向が法線となす符号付き角を (\beta) とする。

回折格子の格子間隔を (d)、二つの波長を (\lambda_1,\lambda_2) とする。波長 (\lambda_1) の正の (m) 次回折光と、波長 (\lambda_2) の正の (n) 次回折光が、同じ射出角 (\beta) の方向に現れた。この二つの回折光はどちらも実在する。

透過型回折格子の回折条件は

$$d(\sin\beta-\sin\alpha)=k\lambda$$d(sinβ−sinα)=kλ

である。ここで (k) は符号付き回折次数であり、正の回折次数では (k>0) とする。

このとき、(\sin\alpha) を求めよ。

制約

• (d=2.00\times 10^{-6}\ {\rm m})
• (\lambda_1=4.80\times 10^{-7}\ {\rm m})
• (\lambda_2=7.20\times 10^{-7}\ {\rm m})
• (m=3)
• (n=2)
• (\sin\beta=0.840)

入力形式

(\sin\alpha) を既約分数 (\dfrac{p}{q}) で表す。ただし (p,q) は正の整数である。このとき、(p+q) を入力せよ。