高密度空間における相対論的超音速追跡と時空固有時パズル

問題文

大気が極限まで圧縮され、音速が $v_s = 6.40 \times 10^4 \text{ m/s}$vs​=6.40×104 m/s （秒速64km）に達している仮想的な超高密度宇宙空間（大気静止座標系 $S$S）を考える。この空間における光速は音速のちょうど1万倍（マッハ10000）であり、 $c = 6.40 \times 10^8 \text{ m/s}$c=6.40×108 m/s （秒速64万km）である。この空間における特殊相対性理論の数理形式は、通常の物理学の定義（ローレンツ因子 $\gamma$γ、およびローレンツ変換）がそのまま適用されるものとする。

大気静止系 $S$S の $x$x 軸上において、ある「静止した標的」が位置 $x = X_0$x=X0​ （ただし $X_0 > 0$X0​>0）に設置されている。

時刻 $t = 0$t=0 の瞬間、原点 $x = 0$x=0 から $x$x 軸の正の向きに向けて、爆発に伴う強烈な平面衝撃波（爆風の壁）が伝播し始めた。この衝撃波の進播速度は音速を遥かに超えており、大気静止系 $S$S において速度 $u_s = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$us​=3.00×108 m/s （マッハ4687.5）の等速直線運動を行う。すなわち、 $t \ge 0$t≥0 における衝撃波前面の位置は $x_{\text{shock}}(t) = u_s t$xshock​(t)=us​t と表される。

この衝撃波の発生から十分に時間が経過した未来の時刻 $t = T_0$t=T0​ （ただし $T_0 > 0$T0​>0）の瞬間、原点 $x = 0$x=0 から、大気静止系 $S$S に対して $x$x 軸の正の向きに速度 $u = 5.00 \times 10^8 \text{ m/s}$u=5.00×108 m/s （光速の約78.1%、マッハ7812.5）で等速直線運動を開始した特殊宇宙船がある。この宇宙船の静止座標系を $S'$S′ とし、宇宙船の時計（系 $S'$S′ の固有時）は、出発の瞬間を $t' = 0$t′=0 とする。

宇宙船は、前方を突き進む衝撃波（マッハ4687.5）を後ろからさらに上回る凄まじい速度（マッハ7812.5）で等速追跡し、やがて追い抜いていく。さらに宇宙船はそのまま直進し、位置 $x = X_0$x=X0​ にある静止標的へと突入する。

大気静止系 $S$S において、宇宙船が前方の衝撃波の前面に「後ろから完全に追いついた」瞬間をイベントA、宇宙船が位置 $x = X_0$x=X0​ の「静止標的に突入した」瞬間をイベントBとする。

宇宙船の出発時刻 $T_0$T0​ および標的の位置 $X_0$X0​ は、宇宙船内の観測者が、「宇宙船が出発してから、衝撃波に追いつくまでに要した船内時間（イベントAの $t'$t′ ）」と、「衝撃波に追いついてから、標的に突入するまでに要した船内時間（イベントBの $t'$t′ とイベントAの $t'$t′ の差）」が完全に等しくなるように精密に調整されている。

この物理条件が未来の正の時間軸上で完全に成立しているとき、大気静止系 $S$S における2つの定数の比 $\frac{X_0}{u_s T_0}$us​T0​X0​​ の値を求めよ。

制約

• 衝撃波の速度（系 $S$S にて）： $u_s = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$us​=3.00×108 m/s
• 光速（系 $S$S にて）： $c = 6.40 \times 10^8 \text{ m/s}$c=6.40×108 m/s
• 宇宙船の速度（系 $S$S に対する）： $u = 5.00 \times 10^8 \text{ m/s}$u=5.00×108 m/s
• 宇宙船の出発時空点（系 $S$S にて）： $t = T_0 > 0$t=T0​>0 、 $x = 0$x=0
• 宇宙船の出発時計（系 $S'$S′ にて）： $t' = 0$t′=0
• すべてのイベント（出発、衝撃波への追いつき、標的突入）は、大気静止系 $S$S および船内固有時 $t'$t′ のいずれにおいても、未来の正の時間（ $t > T_0, t' > 0$t>T0​,t′>0 ）において物理的に発生するものとする。

入力形式

求める比 $\frac{X_0}{u_s T_0}$us​T0​X0​​ の値（無次元量）は、近似や四捨五入を一切行うことなく、厳密な整数となる。その整数値を答えよ。