GWCA003 問題6

解説

1. 宇宙船のローレンツ因子 $\gamma$γ の決定

大気静止系 $S$S に対する宇宙船の速度は $u = 5.00 \times 10^8 \text{ m/s}$u=5.00×108 m/s 、光速は $c = 6.40 \times 10^8 \text{ m/s}$c=6.40×108 m/s です。宇宙船内の時計（固有時 $t'$t′ ）と、大気静止系での経過時間（ $\Delta t = t - T_0$Δt=t−T0​ ）の間には、以下のローレンツ因子 $\gamma$γ による時間の遅れが成立します。 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}}$γ=1−(cu​)2​1​

この $\gamma$γ の値は、後述する比の計算において分子分母で完全に相殺されるため、具体的な数値を展開する必要はありません。

2. 大気静止系 $S$S における各イベントの時空座標の定式化

宇宙船は $t = T_0$t=T0​ に $x = 0$x=0 を出発するため、その後の宇宙船の軌跡は次のように表されます。 $x_{\text{ship}}(t) = u(t - T_0) \quad (t \ge T_0)$xship​(t)=u(t−T0​)(t≥T0​)

• イベントA（衝撃波への追いつき）: $t=0$t=0 に原点を出発した衝撃波 $x = u_s t$x=us​t に、後ろから宇宙船が追いつく大気静止系での時刻を $t_A$tA​ とします。 $u_s t_A = u(t_A - T_0) \implies (u - u_s)t_A = u T_0 \implies t_A = \frac{u}{u - u_s} T_0$us​tA​=u(tA​−T0​)⟹(u−us​)tA​=uT0​⟹tA​=u−us​u​T0​ 設定された速度は $u = 5.00 \times 10^8 > u_s = 3.00 \times 10^8$u=5.00×108>us​=3.00×108 であるため、 $u - u_s > 0$u−us​>0 となり、 $t_A > T_0 > 0$tA​>T0​>0 です。これにより、未来の正の時間軸上で確実に追いつくという物理的整合性が完全に満たされます。 このときの位置は次のようになります。 $x_A = u_s t_A = \frac{u u_s}{u - u_s} T_0$xA​=us​tA​=u−us​uus​​T0​

• イベントB（標的への突入）: 宇宙船が $x = X_0$x=X0​ に静止している標的に突入する大気静止系での時刻を $t_B$tB​ とします。 $X_0 = u(t_B - T_0) \implies t_B = T_0 + \frac{X_0}{u}$X0​=u(tB​−T0​)⟹tB​=T0​+uX0​​ このときの位置は当然、次の通りです。 $x_B = X_0$xB​=X0​

3. 宇宙船静止系 $S'$S′ への時空ローレンツ変換

宇宙船は $t = T_0, x = 0$t=T0​,x=0 を固有時の原点 $t' = 0$t′=0 としているため、大気静止系 $S$S の時空座標 $(t, x)$(t,x) から宇宙船内の固有時 $t'$t′ へのローレンツ変換のシフト式は以下のようになります。 $t' = \gamma \left( (t - T_0) - \frac{u x}{c^2} \right)$t′=γ((t−T0​)−c2ux​)

この変換式を用いて、船内で観測される2つの固有時（ $t'_A$tA′​ および $t'_B$tB′​ ）を導出します。

• 固有時 $t'_A$tA′​ （出発から衝撃波に追いつくまでの船内時間）: $t'_A = \gamma \left( (t_A - T_0) - \frac{u x_A}{c^2} \right)$tA′​=γ((tA​−T0​)−c2uxA​​) ここで、 $t_A - T_0 = \frac{u T_0}{u - u_s} - T_0 = \frac{u_s T_0}{u - u_s}$tA​−T0​=u−us​uT0​​−T0​=u−us​us​T0​​ です。これと $x_A$xA​ の値を代入します。 $t'_A = \gamma \left( \frac{u_s T_0}{u - u_s} - \frac{u}{c^2} \frac{u u_s T_0}{u - u_s} \right) = \frac{\gamma u_s T_0}{u - u_s} \left( 1 - \frac{u^2}{c^2} \right)$tA′​=γ(u−us​us​T0​​−c2u​u−us​uus​T0​​)=u−us​γus​T0​​(1−c2u2​) ここで $1 - \frac{u^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$1−c2u2​=γ21​ であるため、式は次のように整理されます。 $t'_A = \frac{\gamma u_s T_0}{u - u_s} \cdot \frac{1}{\gamma^2} = \frac{u_s T_0}{\gamma (u - u_s)}$tA′​=u−us​γus​T0​​⋅γ21​=γ(u−us​)us​T0​​

• 固有時 $t'_B$tB′​ （標的に突入した瞬間の船内時間）: $t'_B = \gamma \left( (t_B - T_0) - \frac{u x_B}{c^2} \right) = \gamma \left( \frac{X_0}{u} - \frac{u X_0}{c^2} \right) = \gamma X_0 \left( \frac{1}{u} - \frac{u}{c^2} \right) = \frac{\gamma X_0}{u} \left( 1 - \frac{u^2}{c^2} \right)$tB′​=γ((tB​−T0​)−c2uxB​​)=γ(uX0​​−c2uX0​​)=γX0​(u1​−c2u​)=uγX0​​(1−c2u2​) 同様に $1 - \frac{u^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$1−c2u2​=γ21​ を代入します。 $t'_B = \frac{\gamma X_0}{u} \cdot \frac{1}{\gamma^2} = \frac{X_0}{\gamma u}$tB′​=uγX0​​⋅γ21​=γuX0​​

4. 船内時間の一致条件から物理定数の比を分解する

問題文の指定条件は、「出発から衝撃波に追いつくまでの船内時間（ $t'_A$tA′​ ）」と、「衝撃波に追いついてから標的に突入するまでの船内時間（ $t'_B - t'_A$tB′​−tA′​ ）」が等しくなる、すなわち次の関係式が成り立つことです。 $t'_A = t'_B - t'_A \implies t'_B = 2 t'_A$tA′​=tB′​−tA′​⟹tB′​=2tA′​

上で導出した固有時の具体的な式をこの条件式に代入します。 $\frac{X_0}{\gamma u} = 2 \cdot \frac{u_s T_0}{\gamma (u - u_s)}$γuX0​​=2⋅γ(u−us​)us​T0​​

両辺から共通の因数である $\gamma$γ が完全に相殺されます。 $\frac{X_0}{u} = \frac{2 u_s T_0}{u - u_s}$uX0​​=u−us​2us​T0​​

求めたい大気静止系における比の形 $\frac{X_0}{u_s T_0}$us​T0​X0​​ になるように、両辺に $\frac{u}{u_s T_0}$us​T0​u​ を掛けます。 $\frac{X_0}{u_s T_0} = \frac{2 u}{u - u_s}$us​T0​X0​​=u−us​2u​

5. 定数の代入による厳密な整数解の算出

問題で設定された、物理的に正しく交差する一意の速度設定（ $u = 5.00 \times 10^8 \text{ m/s}$u=5.00×108 m/s 、 $u_s = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$us​=3.00×108 m/s ）を代入します。 $\frac{X_0}{u_s T_0} = \frac{2 \times (5.00 \times 10^8)}{(5.00 \times 10^8) - (3.00 \times 10^8)} = \frac{10.00 \times 10^8}{2.00 \times 10^8} = \frac{10}{2} = 5$us​T0​X0​​=(5.00×108)−(3.00×108)2×(5.00×108)​=2.00×10810.00×108​=210​=5

一切の近似や四捨五入を行うことなく、時空の因果律とローレンツ収縮が完璧に噛み合い、ジャスト「5」という美しい整数が導き出されます。

解答：5