Gnit Standard Open 007 (GSO007)

問題文

長方形の極板の面積が$S$S、極板の一辺の長さが$a$a、極板間の距離が$d$dに保たれている平行板コンデンサーがある。

その極板間に極板と同形で、厚さが$d$d、誘電率が$\epsilon$ϵの誘電体板を、その側面を極板の一辺と平行にして挿入しておく。

極板間が真空になっている部分の長さを$x$xとする。なお、真空の誘電率を$\epsilon_0$ϵ0​とする。ただし、端効果は無視し、真空部分の面積は $\dfrac{Sx}{a}$aSx​ とする。

次の問いに答えよ。注、必要ならば無次元量$\alpha$αについて、$|\alpha|\ll1$∣α∣≪1のときに成立する近似式$\dfrac{1}{1+\alpha}\approx1-\alpha$1+α1​≈1−αを用いてもよい。

1. このコンデンサーの電気容量 $C$C を求めよ。
2. 極板上の電荷を $\pm Q$±Q に保って、誘電体をさらに $\delta x (\delta x \ll x)$δx(δx≪x) だけ極板から引き出した場合を考える。このとき、真空部分の長さは $x + \delta x$x+δx になる。極板間の電界が誘電体に及ぼしている力の大きさと方向を答えよ。
3. 極板を電池につないで極板間の電圧を $V$V に保って、誘電体をさらに $\delta x (\delta x \ll x)$δx(δx≪x) だけ極板から引き出した場合を考える。このとき、真空部分の長さは $x + \delta x$x+δx になる。電界が誘電体に及ぼしている力の大きさ及び向きを答えよ。

制約

• $S=2.304\times 10^{-3}\ {\mathrm m^2}$S=2.304×10−3 m2
• $a=4.80\times 10^{-2}\ {\mathrm m}$a=4.80×10−2 m
• $x=2.40\times 10^{-2}\ {\mathrm m}$x=2.40×10−2 m
• $d=8.00\times 10^{-4}\ {\mathrm m}$d=8.00×10−4 m
• $\epsilon_0=9.00\times 10^{-12}\ {\mathrm F/m}$ϵ0​=9.00×10−12 F/m
• $\epsilon=3.60\times 10^{-11}\ {\mathrm F/m}$ϵ=3.60×10−11 F/m
• $Q=7.20\times 10^{-9}\ {\mathrm C}$Q=7.20×10−9 C
• $V=120\ {\mathrm V}$V=120 V

入力形式

(2)で求めた力の大きさを $F_Q$FQ​，(3)で求めた力の大きさを $F_V$FV​ とする。

次の値を自然数で答えよ。

$$(F_Q+F_V)\times 10^9$$(FQ​+FV​)×109

ただし、力の単位は ${\mathrm N}$N とする。

問題文

真空中で、格子線が互いに平行な理想的な透過型回折格子を用いる。格子面に垂直な向きを法線方向、格子線に垂直で格子面内の向きを $(x)$(x) 方向とする。法線から $(x)$(x) 正方向側へ測った符号付き角を正とする。

二つの単色成分を含む平行光が、格子線に垂直な同一平面内で、法線に対して符号付き入射角 $(\alpha)$(α) をなして回折格子に入射する。透過後の回折光の射出方向が法線となす符号付き角を $(\beta)$(β) とする。

回折格子の格子間隔を $(d)$(d)、二つの波長を $(\lambda_1,\lambda_2)$(λ1​,λ2​) とする。波長 $(\lambda_1)$(λ1​) の正の $(m)$(m) 次回折光と、波長 $(\lambda_2)$(λ2​) の正の $(n)$(n) 次回折光が、同じ射出角 $(\beta)$(β) の方向に現れた。この二つの回折光はどちらも実在する。

透過型回折格子の回折条件は

$$d(\sin\beta-\sin\alpha)=k\lambda$$d(sinβ−sinα)=kλ

である。ここで $(k)$(k) は符号付き回折次数であり、正の回折次数では $(k>0)$(k>0) とする。

このとき、$(\sin\alpha)$(sinα) を求めよ。

制約

• $(d=2.00\times 10^{-6}\ {\rm m})$(d=2.00×10−6 m)
• $(\lambda_1=4.80\times 10^{-7}\ {\rm m})$(λ1​=4.80×10−7 m)
• $(\lambda_2=7.20\times 10^{-7}\ {\rm m})$(λ2​=7.20×10−7 m)
• $(m=3)$(m=3)
• $(n=2)$(n=2)
• $(\sin\beta=0.840)$(sinβ=0.840)

入力形式

$(\sin\alpha)$(sinα) を既約分数 $(\dfrac{p}{q})$(qp​) で表す。ただし $(p,q)$(p,q) は正の整数である。このとき、$(p+q)$(p+q)を入力せよ。