回転する観測台から見たシュレの2つの円運動モード

問題文

猫の「シュレ」は、以前の実験では跳躍運動を質点として解析された。今回は、水平面内で中心力を受けるシュレの運動を、回転する座標系から観測する。

シュレを質点とみなし、水平な空気浮上台の上で運動させる。空気浮上台の中心を $O$O とする。シュレには、中心 $O$O に向かう等方的な弾性力だけが働く。慣性系におけるシュレの位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$r とすると、その力は

$$\boldsymbol{F}=-k\boldsymbol{r}$$F=−kr

で表される。

中心 $O$O を原点とする慣性座標系を $OXY$OXY とする。また、同じ原点をもち、$OXY$OXY に対して一定の角速度

$$\boldsymbol{\Omega}=\Omega\boldsymbol{e}_z$$Ω=Ωez​

で反時計回りに回転する座標系を $Oxy$Oxy とする。両座標系の座標軸は時刻 $t=0$t=0 に一致している。

同じ位置ベクトル $\boldsymbol{r}$r を、回転座標系の単位ベクトル $\boldsymbol{e}_x(t)$ex​(t)、$\boldsymbol{e}_y(t)$ey​(t) を用いて

$$\boldsymbol{r} =x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)$$r=x(t)ex​(t)+y(t)ey​(t)

と表す。

床との摩擦、空気抵抗、鉛直方向の運動は無視できる。

回転座標系における運動方程式を導き、複素変数

$$z=x+iy$$z=x+iy

を用いて円運動型の正規モードを求めよ。

各モードについて、複素解に現れる符号付き角振動数の絶対値を、そのモードの固有角振動数と定義する。大きい方を $\omega_{\mathrm{H}}$ωH​、小さい方を $\omega_{\mathrm{L}}$ωL​ とする。

制約

• シュレの質量：$m=4.00\,\mathrm{kg}$m=4.00kg
• 等方的な弾性力の比例定数：$k=144\,\mathrm{N/m}$k=144N/m
• 回転座標系の角速度：$\Omega=2.50\,\mathrm{rad/s}$Ω=2.50rad/s

入力形式

固有角振動数の比を

$$\frac{\omega_{\mathrm{H}}}{\omega_{\mathrm{L}}} =\frac{p}{q}$$ωL​ωH​​=qp​

とする。ただし、$p$p と $q$q は互いに素な自然数である。

$p+q$p+q を自然数で入力せよ。