2本の回転導体棒の相対振動

問題文

水平な面上に、半径 $a$a の細い円環状のなめらかなレールが固定されている。円環の中心を $O$O とする。この空間には、鉛直下向きに磁束密度 $B$B の一様な磁場が存在する。

長さがともに $a$a、質量がそれぞれ $m$m、$M$M である2本の導体棒を用意し、棒1、棒2とする。それぞれの一端を、導電性の回転軸を介して中心 $O$O で互いに電気的に接続する。他端 $P$P、$Q$Q は円環状のレールに沿って移動し、棒は水平面上をなめらかに回転できるものとする。

棒1と棒2の慣性モーメントは、それぞれ $\frac{1}{3}ma^2$31​ma2、$\frac{1}{3}Ma^2$31​Ma2 である。棒とレールの間の摩擦および空気抵抗は無視できる。

円環状のレールは、多数の微小な導体区間と理想スイッチから構成されている。理想スイッチは接点 $P$P、$Q$Q の移動に連動し、$P$P から $Q$Q へ時計回りにたどる円弧だけを常に導通させ、反対側の円弧を電気的に切り離す。

したがって、2本の棒と導通している円弧によって、$O\to P\to\text{円弧}\to Q\to O$O→P→円弧→Q→O の向きに一つの扇形の閉回路が形成される。閉回路の電気抵抗および理想スイッチの力学的影響は無視できる。

この閉回路の自己インダクタンスは、運動中も一定値 $L_0$L0​ とみなせるものとする。また、電流同士の磁気的相互作用による棒への力は無視し、外部磁場 $B$B と棒を流れる電流によるトルクのみを考える。

棒1と棒2の反時計回りの角度をそれぞれ $\theta_1(t)$θ1​(t)、$\theta_2(t)$θ2​(t) とし、相対角度を、

$$\phi(t)=\theta_1(t)-\theta_2(t)$$ϕ(t)=θ1​(t)−θ2​(t)

とする。これは、$Q$Q から見て $P$P が反時計回りになす角である。運動中は常に $0<\phi(t)<2\pi$0<ϕ(t)<2π であるとする。

時刻 $t=0$t=0 の直前には、相対角度が $\phi_0$ϕ0​ であり、2本の棒は静止し、閉回路に電流は流れていない。時刻 $t=0$t=0 に棒1へ瞬間的な角力積を与え、角度と電流を変化させずに、直後の棒1の反時計回りの角速度を $\omega_0$ω0​、棒2の角速度を $0$0 とする。その直後から、両棒を外力のない状態で自由に運動させる。

閉回路を $O\to P\to\text{円弧}\to Q\to O$O→P→円弧→Q→O に流れる時計回りの電流を正とする。閉回路の抵抗がゼロであることと、2本の棒が互いに逆向きの磁気トルクを受けることに注意せよ。

制約に示した数値はすべて厳密値として扱う。

制約

• $a=0.250\,\mathrm{m}$a=0.250m
• $m=0.120\,\mathrm{kg}$m=0.120kg
• $M=0.240\,\mathrm{kg}$M=0.240kg
• $B=0.800\,\mathrm{T}$B=0.800T
• $L_0=0.0800\,\mathrm{H}$L0​=0.0800H
• $\phi_0=1.20\,\mathrm{rad}$ϕ0​=1.20rad
• $\omega_0=1.40\,\mathrm{rad/s}$ω0​=1.40rad/s

入力形式

初期状態の後、相対角度 $\phi(t)$ϕ(t) が初めて最大となったときの値を $\phi_{\max}$ϕmax​ とする。

無次元比

$$R= \left( \frac{\phi_{\max}-\phi_0}{\phi_0} \right)^2$$R=(ϕ0​ϕmax​−ϕ0​​)2

を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表し、$p+q$p+q を入力せよ。