回転するシリンダー内の気体の圧力分布と中心の圧力

問題文

大気中において、長さ $L$L、断面積 $S$S の細い円筒形のシリンダーが、水平面内で一方の端（回転軸）を中心に、一定の角速度 $\omega$ω でなめらかに回転している。シリンダーの回転軸側の端は閉じられており、もう一方の端は開いて大気に開放されている。シリンダー内には、質量 $m$m の気体分子からなる理想気体が閉じ込められている。

系の温度は常に一定の値 $T$T に保たれており、重力の影響および分子間の相互作用は無視できるものとする。また、気体分子はシリンダーの回転に伴ってシリンダーとともに同じ角速度で回転しており、シリンダーの半径方向（長手方向）の運動のみを考える。

大気圧を $P_0$P0​、ボルツマン定数を $k_{\text{B}}$kB​ とする。回転軸があるシリンダーの閉じた端（位置 $x = 0$x=0 ）における気体の圧力 $P(0)$P(0) は、大気圧 $P_0$P0​ を用いて $P(0) = P_0 e^{-A}$P(0)=P0​e−A （ $e$e は自然対数の底）と表される。このとき、無次元の係数 $A$A の値を求めよ。

制約

• $P_0 = 1.00 \times 10^{5} \text{ Pa}$P0​=1.00×105 Pa
• $m = 2.07 \times 10^{-25} \text{ kg}$m=2.07×10−25 kg
• $\omega = 5.00 \times 10^{2} \text{ rad/s}$ω=5.00×102 rad/s
• $L = 2.00 \times 10^{-1} \text{ m}$L=2.00×10−1 m
• $k_{\text{B}} = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$kB​=1.38×10−23 J/K
• $T = 3.00 \times 10^{2} \text{ K}$T=3.00×102 K

入力形式

係数 $A$A を既約分数 $\dfrac{p}{q}$qp​ （ $p, q$p,q は互いに素な自然数）で表したとき、分子と分母の和 $p + q$p+q の値を入力せよ。