居眠り猫と、ずれる輪っか

問題文

研究室の机で、平凸レンズの凸面を水平なガラス板へ向け、光軸がガラス板に垂直になるように置く。極小のスペーサーによって、レンズ中央とガラス板の間には厚さ $h$h のすき間が保たれている。

研究室の猫が装置のすぐ横で気持ちよさそうに眠っているため、実験開始後はレンズを動かさないことにする。

レンズの曲率半径を $R$R とする。光軸からの距離 $r$r が $R$R に比べて十分小さい範囲では、レンズとガラス板の間の薄膜の厚さ $d$d を、

$$d=h+\frac{r^2}{2R}$$d=h+2Rr2​

としてよい。以下で扱うすべてのリングは、この近似が十分成り立つ範囲にあるものとする。

上方から単色光を入射し、垂直入射とみなして反射光によるニュートンリングを観察する。以下で用いる波長は、すべて真空中の波長とする。

レンズとガラス板を構成するガラスの屈折率はいずれも、空気および後に薄膜へ入れる液体の屈折率より大きいものとする。このため、薄膜の上下界面で反射して干渉する二つの光のうち、一方だけが反射時に位相反転する。

以下、「暗い」「明るい」とは、この二光干渉による光強度の極小・極大をそれぞれ指す。また、「暗いリング」とは半径 $r>0$r>0 の円状の暗線を指し、中心 $r=0$r=0 が暗い場合でもリングの個数には含めない。

初め、レンズとガラス板の間は空気で満たされている。

波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ の光を用いると中心は暗く見えた。一方、波長 $\lambda_{\mathrm{V}}$λV​ の光を用いると中心は明るく見えた。

次に、空気中で波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ の光を用い、中心の外側に現れる最も内側の暗いリングの半径を $r_*$r∗​ とする。

猫を起こさないようレンズには触れず、薄膜部分の空気だけを、屈折率 $n$n の透明な液体で完全に置き換える。$h$h と $R$R は変化しないものとする。

この状態で再び波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ の光を用いたところ、半径 $r_*$r∗​ の位置は、中心に近い方から数えて二番目の暗いリングになった。

最後に、液体を入れたまま波長 $\lambda_{\mathrm{V}}$λV​ の光へ切り替える。このとき、中心に近い方から数えて三番目の暗いリングの半径を $r_3$r3​ とする。

薄膜による吸収、薄膜内での多重反射、薄膜上下界面以外の表面からの反射、およびレンズ表面の変形は無視する。

制約

• $\lambda_{\mathrm{R}}=600\,\mathrm{nm}$λR​=600nm
• $\lambda_{\mathrm{V}}=400\,\mathrm{nm}$λV​=400nm
• $0<h<800\,\mathrm{nm}$0<h<800nm
• $1<n<2$1<n<2

入力形式

観測から定まる液体の屈折率を既約分数

$$n=\frac{p}{q}$$n=qp​

とする。

また、

$$\left(\frac{r_3}{r_*}\right)^2=\frac{s}{t}$$(r∗​r3​​)2=ts​

を既約分数とする。

$p,q,s,t$p,q,s,t は正の自然数である。

$p+q+s+t$p+q+s+t を入力せよ。