音で温度を測る二つの球形共鳴器

問題文

内部体積がそれぞれ $V$V である同一形状の2個の剛体球形共鳴器 X、Y がある。X と Y は、内部体積を無視できる細い連結管でつながれており、連結管の途中には気密なバルブ S が取り付けられている。バルブ S を閉じている間、X と Y の間では気体も熱も移動しない。また、バルブの開閉によって装置へ出入りするエネルギーは無視できるものとする。

X、Y にはそれぞれ小型の音源とマイクが取り付けられており、内部の気体の同じ種類の音響共鳴モードの周波数を測定できる。共鳴器の熱膨張は無視でき、このモードの共鳴周波数 $f$f は

$$f=Kc$$f=Kc

と表されるものとする。ここで $c$c は気体中の音速であり、定数 $K$K は気体の種類や温度によらず、X と Y で共通である。

また、理想気体中の音速について

$$c^2=\frac{\gamma RT}{M}$$c2=MγRT​

が成り立つものとする。ここで $T$T は絶対温度、$M$M は気体のモル質量、$R$R は気体定数であり、

$$\gamma=\frac{C_p}{C_V}$$γ=CV​Cp​​

である。$C_V$CV​、$C_p$Cp​ は、それぞれ1 molあたりの定積モル熱容量、定圧モル熱容量を表す。

単原子分子理想気体 A と二原子分子理想気体 B の内部エネルギーは、それぞれ

$$U_{\mathrm A}=\frac{3}{2}nRT, \qquad U_{\mathrm B}=\frac{5}{2}nRT$$UA​=23​nRT,UB​=25​nRT

で与えられるものとする。B の振動自由度は無視する。

各共鳴器について、容器壁、音源、マイクを合わせた熱容量を $C$C とする。X と Y は同一の装置であるため $C$C は等しく、扱う温度範囲では一定とする。連結管、バルブおよび後述する電熱線の熱容量は無視できるものとする。各測定時には、気体とそれを収める共鳴器本体は同じ温度の平衡状態にあるものとする。

気体 A、B はすべての状態で理想気体として扱うことができ、互いに化学反応しない。音響測定のために気体へ与えられるエネルギーは無視できるものとする。

実験 I：共鳴器の校正

バルブ S を閉じ、X に単原子分子理想気体 A を封入した。気体 A と X 本体を温度 $T_0$T0​ の平衡状態にし、気体の圧力を $p_0$p0​ とした。このときの共鳴周波数は $f_0$f0​ であった。

次に、X 全体と外界との間で熱が移動しない状態にし、X 内部の電熱線に通電した。外部の電源から電熱線を通じて、気体 A と X 本体を合わせた系へ供給された電気エネルギーを $E$E とする。供給された電気エネルギーはすべてこの系のエネルギー増加に使われるものとする。X は剛体なので体積は変化しない。

通電を止めて十分時間をおき、気体 A と X 本体が再び同じ温度の平衡状態になったところ、共鳴周波数は $f_1$f1​ となった。

実験 II：二種類の気体の混合

実験 I の終了後、X を外界と熱交換させて十分冷却し、内部の気体を入れ替えてから次の実験を行った。

バルブ S を閉じた状態で、X に単原子分子理想気体 A、Y に二原子分子理想気体 B を封入した。A、B の圧力はいずれも $p_0$p0​ とした。

気体 A と X 本体が平衡状態になったとき、X の共鳴周波数は $f_{\mathrm A}$fA​ であった。また、気体 B と Y 本体が平衡状態になったとき、Y の共鳴周波数は $f_{\mathrm B}$fB​ であった。

その後、X と Y を合わせた装置全体と外界との間で熱が移動しない状態にし、バルブ S を開いた。A と B は互いに混合し、十分時間が経過すると、両気体および X、Y の共鳴器本体はすべて共通の温度 $T_f$Tf​ の平衡状態となった。

バルブを開いてから最終状態に達するまで、装置全体と外界との間に熱の出入りはなく、装置全体の体積は $2V$2V のまま変化しない。混合後の気体についても理想気体の状態方程式を適用でき、混合後の気体の内部エネルギーは A と B の内部エネルギーの和で与えられるものとする。

最終状態での気体の全圧を $p_f$pf​ とする。

$$\frac{p_f}{p_0}$$p0​pf​​

を求めよ。

制約

• $T_0=300\,\mathrm{K}$T0​=300K
• $p_0=1.00\times10^5\,\mathrm{Pa}$p0​=1.00×105Pa
• $V=1.20\times10^{-2}\,\mathrm{m^3}$V=1.20×10−2m3
• $E=6.678\times10^3\,\mathrm{J}$E=6.678×103J
• $f_0=4.00\,\mathrm{kHz}$f0​=4.00kHz
• $f_1=4.40\,\mathrm{kHz}$f1​=4.40kHz
• $f_{\mathrm A}=4.80\,\mathrm{kHz}$fA​=4.80kHz
• $f_{\mathrm B}=4.80\,\mathrm{kHz}$fB​=4.80kHz
• $M_{\mathrm A}=40.0\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}$MA​=40.0×10−3kg/mol
• $M_{\mathrm B}=28.0\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}$MB​=28.0×10−3kg/mol

入力形式

$p_f/p_0$pf​/p0​ を既約分数 $p/q$p/q と表す。ただし、$p,q$p,q は自然数とする。

$p+q$p+q を入力せよ。