sin,cosを用いた函数の近似

問題文

今、

$$f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2} & 2n\pi \le x < (2n+1)\pi \\ \frac{1}{2} & (2n+1)\pi \le x < 2(n+1)\pi \end{cases} \qquad n\in\mathbb{Z}$$f(x)={−21​21​​2nπ≤x<(2n+1)π(2n+1)π≤x<2(n+1)π​n∈Z

つまり、

$$f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2} & 0\le x<\pi \\ \frac{1}{2} & \pi\le x<2\pi \end{cases}$$f(x)={−21​21​​0≤x<ππ≤x<2π​

を周期 $2\pi$2π で繰り返す函数 $f(x)$f(x) を $\sin,\cos$sin,cos の周期函数を用いて近似したい。

ナマギーリ女神から、全体の係数が $\frac{2}{\pi}$π2​ となることを教えてもらったので、まずはグラフの形を何とか近づけようと模索してみる。

ここで、$\pm\sin x,\ \pm\cos x,\ f(x)$±sinx, ±cosx, f(x) を図示してみると、この函数 $f(x)$f(x) はその概形より、

1. $\sin x$sinx
2. $\cos x$cosx
3. $-\sin x$−sinx
4. $-\cos x$−cosx

のうち、ある函数 $g(x)$g(x) が近いため、$g(x)$g(x) が主函数として関わってくると予想できる。

しかし、このままでは $f(x)$f(x) のグラフには十分近づかないため、より周期を短くし、より大きさを小さくした函数を加えて近似したい。

そこで今、次の項が

$$\frac{g(ax)}{a} \qquad a\in\mathbb{N}$$ag(ax)​a∈N

の形をとるという情報を与える。

また、この函数 $f(x)$f(x) の近似では、$g(x)$g(x) が奇函数の場合、$a=1,3,5,\ldots$a=1,3,5,… の項を順に加えていけばよいという事実を用いてもよい。

制約

特になし。頑張れー！

入力形式

$g(x)$g(x) となるものを選び、その選択番号を $k$k とする。

また、

$$\frac{g(x)}{1}$$1g(x)​

の次に加える項

$$\frac{g(ax)}{a}$$ag(ax)​

の係数 $a$a を求め、自然数

$$100k+a$$100k+a

を入力せよ。