GSO009 問題4

問題文

今、

f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2} & 2n\pi \le x < (2n+1)\pi \\ \frac{1}{2} & (2n+1)\pi \le x < 2(n+1)\pi \end{cases} \qquad n\in\mathbb{Z}

つまり、

f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2} & 0\le x<\pi \\ \frac{1}{2} & \pi\le x<2\pi \end{cases}

を周期 $2\pi$ で繰り返す函数 $f(x)$ を $\sin,\cos$ の周期函数を用いて近似したい。

ナマギーリ女神から、全体の係数が $\frac{2}{\pi}$ となることを教えてもらったので、まずはグラフの形を何とか近づけようと模索してみる。

ここで、 $\pm\sin x,\ \pm\cos x,\ f(x)$ を図示してみると、この函数 $f(x)$ はその概形より、

のうち、ある函数 $g(x)$ が近いため、 $g(x)$ が主函数として関わってくると予想できる。

しかし、このままでは $f(x)$ のグラフには十分近づかないため、より周期を短くし、より大きさを小さくした函数を加えて近似したい。

そこで今、次の項が

\frac{g(ax)}{a} \qquad a\in\mathbb{N}

の形をとるという情報を与える。

また、この函数 $f(x)$ の近似では、 $g(x)$ が奇函数の場合、 $a=1,3,5,\ldots$ の項を順に加えていけばよいという事実を用いてもよい。

特になし。頑張れー！

$g(x)$ となるものを選び、その選択番号を $k$ とする。

また、

\frac{g(x)}{1}

の次に加える項

\frac{g(ax)}{a}

の係数 $a$ を求め、自然数

100k+a

を入力せよ。