混合次元量子三体系における短距離斥力を伴うエフィモフ状態の離散的スケール不変性

問題文

3次元デカルト座標系におけるある混合次元量子三体系を考える。ボルン・オッペンハイマー近似を用いることで、重い2粒子間の相対距離 $r \ (r>0)$r (r>0) に関する有効1次元問題へ帰着される。この系の波動関数 $u(r)$u(r) は、以下のゼロエネルギー・シュレディンガー方程式を満たす。

$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u(r)}{dr^2}+\left(\frac{C_3}{r^3}-\frac{C_2}{r^2}\right)u(r)=0$−2μℏ2​dr2d2u(r)​+(r3C3​​−r2C2​​)u(r)=0

ここで $\mu$μ は換算質量、$C_3>0$C3​>0 は短距離で働く斥力的な $1/r^3$1/r3 相互作用の強さ、$C_2>0$C2​>0 はエフィモフ効果に対応する有効的な引力 $1/r^2$1/r2 相互作用の強さである。便宜上、無次元のパラメータ $R, s$R,s を以下のように定義する。

$R=\frac{2\mu C_3}{\hbar^2},\quad s^2+\frac{1}{4}=\frac{2\mu C_2}{\hbar^2}$R=ℏ22μC3​​,s2+41​=ℏ22μC2​​

本問題では $s>0$s>0 であるとする。 この方程式は、適切な変数変換 $x=2\sqrt{R/r}$x=2R/r​ および $u(r)=\sqrt{r}F(x)$u(r)=r​F(x) を用いることで、変形ベッセル方程式に帰着できる。

短距離領域 ($r \to 0$r→0) において確率密度が発散しない（すなわち物理的に許容される）解を選び、その解が中距離領域（短距離の $1/r^3$1/r3 斥力が支配的となる特性長 $R$R よりは十分に大きい距離でありつつ、波動関数の外側への減衰長よりは十分に小さい領域）においてどのような漸近形を持つか調べる。

中距離領域において波動関数 $u(r)$u(r) は対数周期的な振動を示し、空間スケールの変換 $r\to\lambda r$r→λr （$\lambda>1$λ>1）に対して確率密度の空間構造（節の位置など）が自己相似性を持つ。このとき、隣り合う束縛状態の空間的広がり $a_n, a_{n+1}$an​,an+1​ ($a_n<a_{n+1}$an​<an+1​) の比は $a_{n+1}/a_n=\lambda$an+1​/an​=λ となる。

さらに、極めて浅い束縛状態のエネルギー $E_n$En​ は、空間的広がりに対して $E_n\simeq-\frac{\hbar^2}{2\mu a_n^2}$En​≃−2μan2​ℏ2​ とスケールすることが知られている。 この系において、隣り合う束縛状態のエネルギーの比を $\Lambda=\frac{E_n}{E_{n+1}}$Λ=En+1​En​​ （ここで $|E_n|>|E_{n+1}|$∣En​∣>∣En+1​∣ とする）と定義する。

以上の条件をもとに、ある特殊な実験系について考える。

制約

• $\frac{2\mu C_2}{\hbar^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{1234567^2}$ℏ22μC2​​=41​+123456721​

入力形式

エネルギー比 $\Lambda$Λ が整数 $W$W を用いて $\Lambda = e^{W\pi}$Λ=eWπ と表されるとき、整数 $W$W の値を自然数として入力せよ。