GNTMC001 問題7

解説

1. 支配的なポテンシャルと無次元化

与えられた方程式の両辺に $\frac{2\mu}{\hbar^2}$ を掛け、定義された無次元パラメータ $R, s$ を用いて整理すると、次の方程式が得られます。

$\frac{d^2u(r)}{dr^2}+\left[\frac{s^2+1/4}{r^2}-\frac{R}{r^3}\right]u(r)=0$

2. 変数変換と短距離解

指示に従い、 $x=2\sqrt{R/r}$ すなわち $r=4R/x^2$ とおき、 $u(r)=\sqrt{r}F(x)$ という変数変換を行います。微分の連鎖律等を用いて計算を進めると、以下の変形ベッセル方程式が得られます。

$x^2F''+xF'-(x^2-4s^2)F=0$

この方程式を変形ベッセル方程式の標準形 $x^2F''+xF'-(x^2+\nu^2)F=0$ と比較すると $\nu^2=-4s^2$ となるため、次数が純虚数 $\nu=\pm 2is$ となります。したがって、その一般解は純虚数次数の第1種および第2種変形ベッセル関数を用いて $F(x)=AI_{2is}(x)+BK_{2is}(x)$ と表されます。

短距離極限 ( $r \to 0$ 、すなわち $x \to \infty$ ) において、 $I_{2is}(x)$ は指数関数的に発散するため物理的な解として不適切であり、 $K_{2is}(x)$ は指数関数的に減衰するため境界条件を満たします。したがって、解は $u(r)\propto\sqrt{r}K_{2is}\left(2\sqrt{\frac{R}{r}}\right)$ に確定します。

3. 中距離領域の対数周期解と離散スケール不変性

中距離領域 ( $r \gg R$ ) では $1/r^3$ 項が無視でき、方程式はオイラーの微分方程式 $u''(r)+\frac{s^2+1/4}{r^2}u(r)=0$ に近似されます。実数解を構成すると、中距離における波動関数の漸近形は対数周期的な振動解となります。

$u(r)=C'\sqrt{r}\cos(s\ln r+\delta)$

空間スケールを $r\to\lambda r$ と変換したとき、確率密度の空間構造が自己相似性を持つ（波動関数の符号反転を許容する）条件から、 $s\ln\lambda=\pi$ となります。よって、隣り合う束縛状態のサイズの比は $\lambda=e^{\pi/s}$ です。

4. 束縛エネルギー列の比の計算

極めて浅い束縛状態 ( $E \simeq 0$ ) では、波動関数の内部領域の振る舞いはゼロエネルギー解で精度良く近似できます。そのため、 $E=0$ の解が持つ空間的なノード（節）の自己相似性が、そのまま隣り合う束縛状態のサイズ比 $\lambda$ に反映されます。エネルギーのスケール則 $E_n\simeq-\frac{\hbar^2}{2\mu a_n^2}$ より、エネルギー比 $\Lambda$ は空間的広がりの比の2乗となります。

$\Lambda=\frac{E_n}{E_{n+1}}=\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2=\lambda^2=e^{2\pi/s}$

5. 数値の代入と最終計算

制約として与えられた関係式を代入し、 $s$ を求めます。

$s^2+\frac{1}{4}=\frac{2\mu C_2}{\hbar^2}=\frac{1}{4} + \frac{1}{1234567^2}$

これより $s^2 = \frac{1}{1234567^2}$ となり、 $s>0$ より $s = \frac{1}{1234567}$ です。これをエネルギー比の式に代入すると、

$\Lambda = e^{2\pi \times 1234567} = e^{2469134\pi}$

解答形式 $\Lambda = e^{W\pi}$ と比較すると、 $W = 2469134$ となります。

求める最終的な自然数は 2469134 です。