燃料ゼロの恒星脱出 ― 惑星スイングバイの限界

問題文

恒星の周囲を、巨大惑星が半径 $a$a の円軌道で公転している。惑星の公転速度を $V$V とする。恒星の質量は惑星の質量に比べて十分大きいものとする。

ある探査機が、この惑星に接近している。惑星の重力の影響が無視できる進入前の領域では、探査機の恒星に対する速度は、大きさが $V$V で、惑星の公転速度と正反対の向きである。

探査機はエンジンを一切使用せず、惑星の重力によって進行方向を変えられ、再び惑星から遠ざかっていく。この現象を 重力アシスト（スイングバイ） という。

以下の近似モデルを用いる。

• 探査機の質量は惑星の質量に比べて無視できる。
• 惑星近傍では恒星の重力を無視し、探査機と惑星の二体問題として扱う。惑星から十分離れた進入・離脱領域では惑星の重力を無視でき、これらの領域における探査機の速度は、いずれも恒星から距離 $a$a の位置での速度として扱う。
• 重力アシスト中の惑星の公転速度ベクトルは一定とみなす。
• すべての運動は同一平面内で起こり、探査機に推進力や抵抗力は働かない。
• 惑星は半径 $R$R の球体であり、探査機は惑星の表面に衝突しない。

惑星から見た探査機の軌道は双曲線となる。惑星の重力が無視できるほど遠方での進入時と離脱時の相対速度は、大きさが等しく、ともに $u$u である。この2つの速度ベクトルのなす角を偏向角 $\delta$δ（$0<\delta<\pi$0<δ<π）とする。

惑星の重力による双曲線軌道について、次の公式が成り立つことを用いてよい。

$$\sin\frac{\delta}{2} =\frac{\mu}{\mu+r_{\min}u^2}$$sin2δ​=μ+rmin​u2μ​

ここで、$\mu=GM$μ=GM は惑星の重力パラメータ、$r_{\min}$rmin​ は探査機と惑星中心との最接近距離である。

このとき、探査機が重力アシスト後に恒星に対して非束縛軌道に入り、恒星から脱出できるための、最接近距離 $r_{\min}$rmin​ の最大値 $r_{\max}$rmax​ を求めよ。

ただし、恒星から脱出できる条件は、重力アシスト後の探査機の恒星に対する力学的エネルギーが0以上となることとする。

制約

• 惑星の公転速度：$V=1.3\times10^4\,\mathrm{m/s}$V=1.3×104m/s
• 惑星の重力パラメータ：$\mu=1.27\times10^{17}\,\mathrm{m^3/s^2}$μ=1.27×1017m3/s2
• 惑星の半径：$R=7\times10^7\,\mathrm{m}$R=7×107m

入力形式

求めた $r_{\max}$rmax​ を惑星の半径 $R$R で割った値を、次の形で表す。

$$\frac{r_{\max}}{R} =\frac{A\sqrt{2}-B}{4\times7\times13^2}$$Rrmax​​=4×7×132A2​−B​

ここで $A,B$A,B は正の整数とする。分母は指定された形のままとし、約分は行わない。

$A+B$A+B の値を自然数で答えよ。