重力場中における相対単振動と融合

問題文

鉛直上向きを $y$ 軸の正の向きとし、地面を $y=0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗は無視できるものとする。

時刻 $t=0$ に、 $y=H$ の位置から質量 $M$ の小球Aを静かに落下させた。小球Aの下部には、質量が無視できるばね定数 $k$ 、自然長 $l$ のばねの上端が固定されており、ばねは鉛直下向きに垂れ下がっている。ばねの下端には、質量が無視できる極めて軽い接着部がついている。

同時に（時刻 $t=0$ に）、地面（ $y=0$ ）から質量 $m$ の小球Bを鉛直上向きに初速 $v_0$ で打ち上げた。

時刻 $t=t_1$ に、小球Bはばねの下端の接着部に到達し、その瞬間に完全に接着して一体となった。小球Bが接着した瞬間、ばねの長さはちょうど自然長 $l$ であったとする。また、接着部の質量はゼロであるため、接着の前後で小球Bの速度は変化しないものとする。

その後、小球Bはばねを圧縮しながら小球Aとの相対距離を縮めていき、小球Aと小球Bはばねを介して一体の系として運動する。やがて時刻 $t=t_2$ において、接着後初めてばねが最も縮んだ状態となった。

ばねが最も縮んだときの、ばねの自然長からの縮み量を $d$ とし、その瞬間（時刻 $t=t_2$ ）における小球Aの $y$ 座標を $h_A$ とする。

ばねが最も縮む前に小球Aと小球Bが直接衝突することはなく、また系が地面に落下する前に一連の運動は完結するものとして、以下の入力形式に従って解答せよ。

ばねの縮み量 $d$ を $\text{m}$ 単位で求め、その値を10倍した値を $X$ とする。また、小球Aの高さ $h_A$ を $\text{m}$ 単位で求めると、その値は有限小数 $\alpha, \beta, \gamma$ を用いて以下のように表される。

h_A = \alpha - \beta \pi - \gamma \pi^2

ここで、 $Y = 100\alpha + 1000\beta + 100000\gamma$ とする。

最終的な解答として、 $X \times Y$ の値を計算し、自然数で答えよ。