ブラッグ反射と電子の運動エネルギー

問題文

一格子間隔が $d$d である結晶の表面に、質量 $m$m、電気量（電荷の絶対値） $e$e の電子を静止状態から可変の電位差によって加速して入射させた。

加速された電子は波動としての性質をもち、そのド・ブロイ波長 $\lambda$λ は、プランク定数 $h$h および電子の運動量の大きさ $p$p を用いて $\lambda = \frac{h}{p}$λ=ph​ と表される。この電子の波動が結晶格子面によって反射され、互いに強め合う条件（ブラッグの条件）は、入射角（格子面と入射方向のなす角）を $\theta$θ、反射の次数を $n$n （ $n=1, 2, 3, \cdots$n=1,2,3,⋯ ）とすると、次のように表される。

$$2d \sin \theta = n\lambda$$2dsinθ=nλ

いま、電位差 $V$V で加速した電子線を結晶表面に入射させ、角 $\theta$θ を $0$0 から徐々に大きくしていったところ、 $\sin \theta = \frac{1}{9}$sinθ=91​ のときに $n=1$n=1 の最初の反射強度のピーク（強め合い）が観測された。

続いて、入射角を $\sin \theta = \frac{1}{3}$sinθ=31​ に固定したまま、電子を加速する電位差を $V$V から $V'$V′ へと変化させたところ、再び $n=1$n=1 の最初の反射強度のピークが観測された。このときの、変化前の電位差 $V$V に対する変化後の電位差 $V'$V′ の無次元比 $\frac{V'}{V}$VV′​ を求めよ。ただし、電子の運動エネルギーは非相対論的に扱えるものとする。

制約

• $m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$m=9.1×10−31 kg
• $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$e=1.6×10−19 C
• $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s}$h=6.6×10−34 J⋅s
• $d = 3.3 \times 10^{-10} \ \text{m}$d=3.3×10−10 m

入力形式

求めた電位差の比 $\frac{V'}{V}$VV′​ の値を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したとき、分子と分母の積 $p \times q$p×q に $1000$1000 を加えた値を入力せよ。